Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм
Уравнение касательной: y = f(x_0) + f′(x_0)(x − x_0). Нужно найти значение функции f(x_0) и производной f′(x_0) в точке касания и подставить. Для y = x^2 в точке x_0 = 3: f(3) = 9, f′(3) = 6, касательная y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.
Уравнение касательной: формулы
Такой формулы нет. Попробуйте: уравнение, угол, параллельна, перпендикулярна, горизонтальная.
| Что нужно | Формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Уравнение касательной | y = f(x_0) + f′(x_0)(x − x_0) | x_0 — абсцисса точки касания |
| Угловой коэффициент | k = f′(x_0) = tg α | α — угол касательной с положительным направлением оси Ox |
| Касательная параллельна прямой y = kx + b | f′(x_0) = k | у параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты |
| Горизонтальная касательная | f′(x_0) = 0 | касательная параллельна оси Ox — в вершинах и точках экстремума |
| Касательная перпендикулярна прямой y = kx + b | f′(x_0) = −1/k | k ≠ 0: произведение угловых коэффициентов равно −1 |
| Угол наклона 45° или 135° | f′(x_0) = 1 или f′(x_0) = −1 | tg 45° = 1, tg 135° = −1 |
| Касание прямой y = kx + b и графика | f(x_0) = kx_0 + b, f′(x_0) = k | общая точка и одинаковый наклон — два уравнения на x_0 и неизвестный коэффициент |
| Производная по касательной на рисунке | f′(x_0) = (y_2 − y_1)/(x_2 − x_1) | две точки касательной с целыми координатами; убывающая прямая — производная отрицательна |
Как пользоваться формулами?
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания: k = f′(x₀) = tg α. В первой таблице — формула и все её следствия (параллельная, горизонтальная, перпендикулярная касательная), во второй — готовые касательные к графикам основных функций.
Скачать PDFА4, 1 лист, 294 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Готовые касательные к графикам основных функций
Такой функции в таблице нет. Составьте касательную по формуле выше.
| Функция и точка | f(x₀) и f′(x₀) | Касательная |
|---|---|---|
| y = x^2, x_0 = 3 | 9 и 6 | y = 6x − 9 |
| y = x^3 − 2x, x_0 = 1 | −1 и 1 | y = x − 2 |
| y = 1/x, x_0 = 1 | 1 и −1 | y = −x + 2 |
| y = √x, x_0 = 4 | 2 и 1/4 | y = x/4 + 1 |
| y = e^x, x_0 = 0 | 1 и 1 | y = x + 1 |
| y = ln x, x_0 = 1 | 0 и 1 | y = x − 1 |
| y = sin x, x_0 = 0 | 0 и 1 | y = x |
| y = cos x, x_0 = π/2 | 0 и −1 | y = −x + π/2 |
Касательные y = x + 1 к e^x и y = x − 1 к ln x лежат под и над графиками: отсюда полезные оценки e^x ≥ x + 1 и ln x ≤ x − 1.
Как составить уравнение касательной: алгоритм
- Найдите значение функции в точке касания f(x_0).
- Найдите производную f′(x) и её значение f′(x_0) — это угловой коэффициент.
- Подставьте оба числа в y = f(x_0) + f′(x_0)(x − x_0) и раскройте скобки.
- Проверьте: при x = x_0 касательная даёт y = f(x_0) — она проходит через точку касания.
Пример: касательная к кубической функции
f(x) = x^3 − 3x^2 + 2, x_0 = 1. Значение f(1) = 1 − 3 + 2 = 0. Производная f′(x) = 3x^2 − 6x, f′(1) = 3 − 6 = −3. Уравнение: y = 0 − 3(x − 1) = −3x + 3.
Касательная к этой же функции, параллельная оси Ox: f′(x_0) = 3x_0^2 − 6x_0 = 0, x_0 = 0 или x_0 = 2. Получаем две горизонтальные касательные: y = f(0) = 2 и y = f(2) = −2.
Где ошибаются чаще всего?
- Подставляют x_0 в производную до того, как её нашли: сначала f′(x), потом f′(x_0).
- Путают f(x_0) и f′(x_0) в формуле: значение функции стоит отдельно, производная — множителем при (x − x_0).
- Забывают минус у убывающей касательной, когда считают её наклон по клеткам.
- Ищут касательную «в точке y = 5»: x_0 — это всегда абсцисса.
Проверь себя
Уравнение касательной: составить и найти точку: 5 вопросов, от простых к трудным. От подстановки в формулу к поиску точки касания по угловому коэффициенту.
Дальше — задание 9 по профильной математике. Производная по графику — 33 задания с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 9 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Касательная параллельна прямой»: угловой коэффициент касательной −4 равен производной 2x + 2 в точке касания, отсюда x_{0} = −3; b находят, подставив точку касания в уравнение прямой.
-
Задание 9 ЕГЭ
Прямая y = -4x + b является касательной к параболе y = x^2 + 2x + 3. Найдите b.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Касательная на ЕГЭ 2027 по профильной математике — задание 9: найти производную по касательной на рисунке, найти абсциссу точки касания или коэффициент прямой, касающейся графика.
- Задание 9 профильной математикиПроизводная по графику: касательная, её угловой коэффициент и точка касания.
- Задание 17 профильной математикиМодель реальной ситуации: производная как скорость изменения.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Какой геометрический смысл производной?
Производная в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке: f′(x_0) = k = tg α, где α — угол наклона касательной к оси Ox.
Как найти точку касания, если известен угловой коэффициент?
Решите уравнение f′(x_0) = k. Для y = x^2 и касательной, параллельной y = 4x − 7, получаем 2x_0 = 4, x_0 = 2.
Когда касательная горизонтальна?
Когда производная в точке касания равна нулю. Так бывает в точках максимума и минимума, а ещё в точках перегиба вроде x = 0 у y = x^3.
Может ли касательная пересекать график?
Да. Касательная — не «прямая с одной общей точкой»: у y = x^3 касательная в точке x_0 = 1, прямая y = 3x − 2, пересекает график ещё и в точке x = −2.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, раздел «Производная»: геометрический смысл производной, уравнение касательной к графику функции
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — каждая касательная из таблиц пересчитана программой: совпадают значение и наклон в точке касания