Признаки делимости: таблица с примерами
Число делится на 2, если последняя цифра чётная; на 5 — если она 0 или 5; на 10 — если она 0; на 3 и на 9 — если на 3 или на 9 делится сумма цифр; на 4 — если на 4 делится число из двух последних цифр.
Таблица признаков делимости
| Делится на | Признак | Делится | Не делится |
|---|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8 | 3 574 | 3 571 |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 1 263: 1 + 2 + 6 + 3 = 12 | 1 264: сумма 13 |
| 4 | число из двух последних цифр делится на 4 (в том числе 00) | 7 316: 16 делится на 4 | 7 318: 18 не делится на 4 |
| 5 | последняя цифра 0 или 5 | 2 435 | 2 453 |
| 6 | делится и на 2, и на 3 | 1 254: чётное, сумма цифр 12 | 1 256: сумма цифр 14 |
| 7 | отбросить последнюю цифру и вычесть её удвоенное значение из оставшегося числа; делится, если результат делится на 7 | 364: 36 − 2 · 4 = 28 | 365: 36 − 2 · 5 = 26 |
| 8 | число из трёх последних цифр делится на 8 (в том числе 000) | 5 120: 120 = 8 · 15 | 5 124: 124 не делится на 8 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 4 518: сумма 18 | 4 519: сумма 19 |
| 10 | последняя цифра 0 | 7 830 | 7 835 |
| 11 | разность сумм цифр на нечётных и на чётных местах делится на 11 (или равна 0) | 9 273: (9 + 7) − (2 + 3) = 11 | 9 274: (9 + 7) − (2 + 4) = 10 |
| 12 | делится на 3 и на 4 | 1 236: сумма 12, 36 делится на 4 | 1 230: 30 не делится на 4 |
| 15 | делится на 3 и на 5 | 2 745: сумма 18, конец 5 | 2 750: сумма 14 |
| 25 | две последние цифры 00, 25, 50 или 75 | 3 475 | 3 485 |
| 100 | две последние цифры — нули | 4 700 | 4 710 |
Делимость на составное число проверяют по взаимно простым множителям: на 12 — по признакам 3 и 4, а не 2 и 6. Число 18 делится и на 2, и на 6, но на 12 не делится.
Как пользоваться таблицей признаков?
Признак делимости позволяет узнать по записи числа, делится ли оно нацело, не выполняя деления. В таблице для каждого делителя — само правило и два примера: число, которое делится, и похожее, которое не делится. На 2, 5 и 10 смотрят последнюю цифру, на 4 и 25 — две последние, на 3 и 9 — сумму цифр.
Скачать PDFА4, 1 лист, 138 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Свойства делимости
| Свойство | Запись | Пример |
|---|---|---|
| Каждое слагаемое делится на m — сумма делится на m | a ⋮ m, b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m | 120 + 36 делится на 12 |
| Одно слагаемое делится на m, другое нет — сумма не делится | a ⋮ m, b не делится на m ⇒ a + b не делится на m | 70 + 3 не делится на 7 |
| Один множитель делится на m — произведение делится на m | a ⋮ m ⇒ ab ⋮ m | 14 · 9 делится на 7 |
| Делимость на составное число | a ⋮ p и a ⋮ q, НОД(p, q) = 1 ⇒ a ⋮ pq | делится на 4 и на 9 ⇒ делится на 36 |
| Если a делится на b, а b на c, то a делится на c | a ⋮ b, b ⋮ c ⇒ a ⋮ c | 72 ⋮ 24, 24 ⋮ 8 ⇒ 72 ⋮ 8 |
Знак ⋮ читается «делится на»: запись 72 ⋮ 8 означает, что 72 делится на 8 без остатка.
Почему признаки делимости работают?
Всё держится на записи числа по степеням десяти. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, и вообще каждая степень десяти на единицу больше числа, делящегося на 9. Поэтому число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9 и на 3: 4 518 = 4 · 999 + 5 · 99 + 1 · 9 + (4 + 5 + 1 + 8).
100 делится на 4 и на 25, поэтому всё, что стоит левее двух последних цифр, на делимость на 4 и 25 не влияет. По той же причине для 8 хватает трёх последних цифр: 1000 = 8 · 125. А 10 = 11 − 1, поэтому при делении на 11 цифры входят в остаток с чередующимися знаками.
Как применять признаки в задачах ЕГЭ?
В задании 19 базовой математики нужно найти число с несколькими свойствами сразу. Сначала выписывают условия на последние цифры (делимость на 2, 4, 5, 8, 10, 25), потом — на сумму цифр (3 и 9): так перебор сокращается до нескольких вариантов.
Пример. Наименьшее трёхзначное число, которое делится на 45. 45 = 5 · 9, значит, число оканчивается на 0 или 5, а сумма цифр делится на 9. Среди чисел с первой цифрой 1 подходят 135 и 180, наименьшее — 135.
Проверь себя
Признаки делимости: 5 вопросов, от простых к трудным. Проверяем признаком, не деля столбиком.
Дальше — задание 19 по базовой математике. Числа с заданными свойствами — 33 задания с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 19 ЕГЭ по базовой математике. Пригодятся строки «на 7», «на 11» и «на 10», а для составного делителя — правило взаимно простых множителей: 77 = 7 · 11.
-
Задание 1 из 2
Найдите наименьшее трёхзначное число, которое делится и на 7, и на 11.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Из цифр 1, 2, 4 и 8 составили два двузначных натуральных числа, использовав каждую цифру ровно один раз. Сумма составленных чисел делится на 10. Найдите эту сумму.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Признаки делимости входят в кодификатор ЕГЭ по математике в разделе о натуральных и целых числах. На них строится задание 19 базового уровня и задача о числах во второй части профильного.
- Задание 19 базовой математикиНайти число с заданными свойствами: делится на 12, 45 или 36, записано разными цифрами.
- Задание 20 профильной математикиЗадача о числах с доказательством: делимость, остатки, десятичная запись.
- Задание 25 ЕГЭ по информатикеПрограмма перебирает числа по маске и проверяет делимость — признаки помогают сузить перебор.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Какой признак делимости на 7?
Отбросьте последнюю цифру и вычтите её удвоенное значение из того, что осталось. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится результат. Пример: 364 → 36 − 8 = 28, а 28 делится на 7, значит, делится и 364. Для длинных чисел шаг повторяют.
Как проверить делимость на 12, 15 или 18?
Разложить делитель на взаимно простые множители и проверить каждый: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9. Множители должны быть взаимно простыми: делимость на 2 и на 6 ещё не гарантирует делимость на 12.
Что значит «делится нацело» и «кратно»?
Это одно и то же: a делится на b нацело, если a = b · k для целого k, то есть остаток равен нулю. Тогда говорят, что a кратно b, а b — делитель a.
Делится ли ноль на числа из таблицы?
Да, ноль делится на любое число, кроме нуля: 0 = 7 · 0. Все признаки это подтверждают — последняя цифра 0, сумма цифр 0.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: натуральные и целые числа, признаки делимости, делимость и остатки
- Примеры таблицы — каждый пример «делится» и «не делится» проверен делением программой