Уравнение окружности: формула и как найти центр и радиус

Уравнение окружности: (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2, где (a; b) — центр, R — радиус. Например, (x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 — окружность с центром (2; −3) и радиусом 4; x^2 + y^2 = 25 — с центром в начале координат и радиусом 5.

Уравнение окружности: все формы

Уравнение окружности в разных формах: с центром в произвольной точке и в начале координат, общий вид, по центру и точке, касательная
Что даноУравнениеЦентр и радиус
Центр (a; b), радиус R(x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2каноническое уравнение: центр (a; b), радиус R
Центр в начале координатx^2 + y^2 = R^2центр (0; 0); единичная окружность: x^2 + y^2 = 1
Общий видx^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0центр (−D/2; −E/2), R^2 = (D^2 + E^2)/4 − F; окружность, если R^2 > 0
Центр и точка на окружностиR^2 = (x_0 − a)^2 + (y_0 − b)^2радиус — расстояние от центра до точки (x_0; y_0)
Концы диаметраa = (x_1 + x_2)/2, b = (y_1 + y_2)/2центр — середина диаметра, R — половина его длины
Касательная в точке (x_0; y_0)(x_0 − a)(x − a) + (y_0 − b)(y − b) = R^2точка (x_0; y_0) лежит на окружности
Параметрическое уравнениеx = a + R cos t, y = b + R sin tt — угол поворота от горизонтали
Точка внутри или снаружи(x_0 − a)^2 + (y_0 − b)^2 < R^2< — точка внутри, = — на окружности, > — снаружи
xyO11(a; b)R
(x − a)² + (y − b)² = R²

Уравнение с y, выраженным через x, — y = b ± √(R^2 − (x − a)^2) — задаёт только верхнюю или нижнюю полуокружность: сама окружность не график функции.

Уравнение окружности: все формы
Уравнение окружности: все формы — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться таблицами?

Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R: (x − a)² + (y − b)² = R². Если центр в начале координат, оно короче: x² + y² = R². В первой таблице — все формы уравнения и как по ним найти центр и радиус, во второй — готовые примеры, в том числе уравнения, где сначала нужно выделить полный квадрат.

Скачать PDFА4, 1 лист, 296 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс геометрии 9 класса (метод координат); кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Примеры: уравнение окружности, центр и радиус

Готовые примеры уравнений окружности с найденными центром и радиусом
УравнениеПосле выделения квадратовЦентрРадиус
x^2 + y^2 = 25—(0; 0)5
(x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 16—(2; −3)4
(x + 1)^2 + y^2 = 7—(−1; 0)√7
x^2 + y^2 − 6y = 0x^2 + (y − 3)^2 = 9(0; 3)3
x^2 + y^2 − 4x + 6y − 12 = 0(x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 25(2; −3)5
x^2 + y^2 + 2x − 8y + 8 = 0(x + 1)^2 + (y − 4)^2 = 9(−1; 4)3
x^2 + y^2 + 4x + 5 = 0(x + 2)^2 + y^2 = −1—не окружность

Откуда берётся уравнение окружности?

Окружность — все точки плоскости на расстоянии R от центра. Расстояние от точки (x; y) до центра (a; b) по формуле расстояния равно √((x − a)^2 + (y − b)^2). Приравниваем его к R и возводим в квадрат — получаем уравнение (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2.

Поэтому знаки в скобках противоположны координатам центра: у окружности с центром (−3; 5) в уравнении стоят (x + 3) и (y − 5).

Как найти центр и радиус по уравнению общего вида?

Сгруппируйте слагаемые с x и с y и дополните каждую группу до полного квадрата. Пример: x^2 + y^2 − 4x + 6y − 12 = 0. x^2 − 4x = (x − 2)^2 − 4, y^2 + 6y = (y + 3)^2 − 9. Получаем (x − 2)^2 + (y + 3)^2 − 4 − 9 − 12 = 0, то есть (x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 25: центр (2; −3), радиус 5.

Если справа получился ноль, уравнение задаёт одну точку — центр; если отрицательное число — ни одной точки.

Как составить уравнение окружности?

  • По центру и радиусу — подставить в (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2. Центр (1; −2), R = 3: (x − 1)^2 + (y + 2)^2 = 9.
  • По центру и точке — радиус найти как расстояние: центр (1; 2), точка (4; 6), R^2 = 9 + 16 = 25.
  • По концам диаметра (−1; 1) и (5; 9) — центр в середине (2; 5), R^2 = (5 − 2)^2 + (9 − 5)^2 = 25: (x − 2)^2 + (y − 5)^2 = 25.

Проверь себя

Уравнение окружности: центр, радиус, запись: 5 вопросов, от простых к трудным. От чтения готового уравнения к выделению полного квадрата.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Отдельного задания на уравнение окружности в ЕГЭ 2027 нет, но оно постоянно нужно в задаче с параметром: уравнение вида (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2 сразу рисуют окружностью и решают графически.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Как записать уравнение окружности с центром в начале координат?

x^2 + y^2 = R^2. Окружность радиуса 3 с центром в точке (0; 0): x^2 + y^2 = 9.

Как найти радиус окружности по уравнению?

Приведите уравнение к виду (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2 и извлеките корень из правой части. В x^2 + y^2 = 20 радиус равен √20 = 2√5.

Почему в уравнении окружности минус, если центр положительный?

Потому что в скобках стоит разность координат точки и центра: x − a. Для центра (3; 4) это (x − 3) и (y − 4).

Является ли окружность графиком функции?

Нет: вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках, а у функции каждому x соответствует одно y. Графиками функций будут верхняя и нижняя полуокружности.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела