Свойства корней: формулы и таблица
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — такое неотрицательное число, квадрат которого равен a: √49 = 7, потому что 7^2 = 49. Главные свойства: корень из произведения равен произведению корней, корень из дроби — дроби корней, √(a^2) = |a|. У каждого свойства есть условие, при котором оно верно, — оно указано в таблице.
Свойства корней
Такого свойства нет. Попробуйте: произведение, дробь, степень, модуль.
| Свойство | Формула | Когда верно |
|---|---|---|
| Определение | √a = b ⇔ b^2 = a, b ≥ 0 | a ≥ 0 |
| Квадрат корня | (√a)^2 = a | a ≥ 0 |
| Корень из квадрата | √(a^2) = |a| | любое a; для a ≥ 0 это просто a |
| Корень из произведения | √(ab) = √a · √b | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень из дроби | √(a/b) = √a/(√b) | a ≥ 0, b > 0 |
| Вынесение множителя | √(a^2 b) = |a|√b | b ≥ 0; например √50 = 5√2 |
| Внесение множителя | a√b = √(a^2 b) | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень n-й степени из произведения | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень n-й степени из дроби | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a/(ⁿ√b) | a ≥ 0, b > 0 |
| Степень корня | (ⁿ√a)^k = ⁿ√(a^k) | a ≥ 0 |
| Корень из корня | ⁿ√((k)√a) = (nk)√a | a ≥ 0 |
| Сокращение показателей | (nk)√(a^(mk)) = ⁿ√(a^m) | a ≥ 0 |
| Корень чётной степени из степени | (2k)√(a^(2k)) = |a| | любое a |
| Корень нечётной степени из степени | (2k + 1)√(a^(2k + 1)) = a | любое a |
| Связь со степенью | a^(m/n) = ⁿ√(a^m) | a > 0 (при m > 0 допускается a = 0) |
Таблица квадратных корней от 1 до 100
Введите целое число от 1 до 100.
Число n = десятки из строки + единицы из столбца: строка 40+ и столбец 7 — это √47.
| n = десятки + единицы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0+ | 1 | 1,414 | 1,732 | 2 | 2,236 | 2,449 | 2,646 | 2,828 | 3 | 3,162 |
| 10+ | 3,317 | 3,464 | 3,606 | 3,742 | 3,873 | 4 | 4,123 | 4,243 | 4,359 | 4,472 |
| 20+ | 4,583 | 4,690 | 4,796 | 4,899 | 5 | 5,099 | 5,196 | 5,292 | 5,385 | 5,477 |
| 30+ | 5,568 | 5,657 | 5,745 | 5,831 | 5,916 | 6 | 6,083 | 6,164 | 6,245 | 6,325 |
| 40+ | 6,403 | 6,481 | 6,557 | 6,633 | 6,708 | 6,782 | 6,856 | 6,928 | 7 | 7,071 |
| 50+ | 7,141 | 7,211 | 7,280 | 7,348 | 7,416 | 7,483 | 7,550 | 7,616 | 7,681 | 7,746 |
| 60+ | 7,810 | 7,874 | 7,937 | 8 | 8,062 | 8,124 | 8,185 | 8,246 | 8,307 | 8,367 |
| 70+ | 8,426 | 8,485 | 8,544 | 8,602 | 8,660 | 8,718 | 8,775 | 8,832 | 8,888 | 8,944 |
| 80+ | 9 | 9,055 | 9,110 | 9,165 | 9,220 | 9,274 | 9,327 | 9,381 | 9,434 | 9,487 |
| 90+ | 9,539 | 9,592 | 9,644 | 9,695 | 9,747 | 9,798 | 9,849 | 9,899 | 9,950 | 10 |
Значения округлены до тысячных, кроме точных квадратов (1, 4, 9, …, 100) — у них корень целый. Корни больших чисел — через таблицу квадратов.
Как применять свойства корней
Чаще всего корни упрощают вынесением множителя из-под корня: подкоренное число раскладывают так, чтобы один множитель был точным квадратом. √72 = √(36 · 2) = 6√2. Обратный ход — внесение множителя — помогает сравнивать числа: 3√5 = √45 и 4√3 = √48, значит второе больше.
Сумма корней не равна корню из суммы: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7. Складывать можно только одинаковые корни: 2√3 + 5√3 = 7√3.
Избавиться от корня в знаменателе помогает домножение: 6/(√3) = 6√3/3 = 2√3. Если в знаменателе сумма, домножают на сопряжённое выражение: (√5 − √2)(√5 + √2) = 5 − 2 = 3.
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ
Корни на ЕГЭ — это прежде всего вычисления без калькулятора и иррациональные уравнения, где свойство без условия даёт посторонний корень.
- Задание 16 базовой математикиВыражение с корнями и степенями нужно довести до числа по свойствам.
- Задание 8 профильной математикиЗначение выражения с корнями: вынесение множителя, переход к степени с дробным показателем.
- Задание 7 профильной математикиИррациональное уравнение: после возведения в квадрат корень обязательно проверяют.
- Задание 14 базовой математикиВычисление выражения с дробями, степенями и корнями.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Почему √(a²) равен модулю a, а не a?
Арифметический корень по определению неотрицателен. Если a = −3, то a^2 = 9, а √9 = 3, то есть −a. Модуль как раз и даёт неотрицательное значение при любом знаке a.
Можно ли извлечь корень из отрицательного числа?
Квадратный корень и любой корень чётной степени — нет, в действительных числах они определены только для a ≥ 0. Корень нечётной степени — можно: ³√(−8) = −2.
Равен ли корень из суммы сумме корней?
Нет. Это самая частая ошибка: √(9 + 16) = √25 = 5, но √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Свойство «разбить на множители» работает только для произведения и частного.
Как вынести множитель из-под корня?
Разложите подкоренное число на множители так, чтобы один был точным квадратом, и извлеките из него корень: √200 = √(100 · 2) = 10√2, √48 = √(16 · 3) = 4√3.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: корень степени n > 1 и его свойства, степень с рациональным показателем
- Значения таблицы корней — вычислены программой при сборке страницы, округление до тысячных по обычным правилам