Задание 20 ЕГЭ по профильной математике: Числа и их свойства

Три пункта о свойствах чисел: делимость, остатки, наибольший общий делитель, десятичная запись. Пункт а обычно спрашивает, возможно ли что-то, и закрывается удачным примером. Пункт б требует найти наибольшее или наименьшее значение, пункт в — доказать общее утверждение. Пункты оцениваются по отдельности.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложностивысокий
Максимальный балл4 балла
Форма ответаразвёрнутое решение, три пункта
Сколько минут закладывать40 минут
Коды кодификатора
  • 1.1 Натуральные и целые числа, признаки делимости
  • 1.2 Рациональные числа
  • 5.2 Логика

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

  1. Прочитайте все три пункта сразу: пример из пункта а нередко подсказывает идею остальных.
  2. Для пункта а подберите конкретный пример и выпишите его полностью.
  3. Для пункта б докажите оценку сверху или снизу и приведите пример, где она достигается.
  4. В пункте в работайте с остатками по подходящему модулю или с чётностью.
  5. Отделите пункты заголовками, чтобы эксперту было ясно, где что.

Типичные ошибки

  • В пункте б приводят пример, не доказав, что большего или меньшего значения быть не может.
  • В пункте в подменяют доказательство проверкой нескольких случаев.
  • Записывают ответ, не указав, к какому пункту он относится.
Совет на экзамене

Даже пятнадцать минут на пункт а — это балл. Беритесь за номер, когда часть 1 переписана в бланк, а остальная часть 2 разобрана.

Теория по заданию 20

Натуральные и целые числа, признаки делимостиКонспект с разбором Рациональные числаКонспект с разбором ЛогикаКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример
Дано выражение n3+5nn^3 + 5n, где n — натуральное число. а) Приведи пример n, при котором значение не делится на 4. б) Докажи, что при любом натуральном n значение делится на 6. в) Найди наименьшее n, при котором значение делится на 12.
Пункт а). Нужен всего один пример — берём наименьшее n и проверяем. n=1:13+5⋅1=6n = 1:\quad 1^3 + 5 \cdot 1 = 6 Шесть на 4 не делится — пример найден, пункт закрыт. Это тот самый дешёвый гарантированный балл, ради которого стоит начинать именно с а). Пункт б). Доказываем делимость на 6 при любом n. Приём — превратить выражение в произведение соседних чисел. Для этого вычтем и снова прибавим n: n3+5n=(n3−n)+6n=(n−1) n (n+1)+6nn^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n = (n - 1)\,n\,(n + 1) + 6n Первое слагаемое — произведение трёх подряд идущих чисел, оно делится на 6. Второе, 6n6n, делится на 6 по определению — это 6, умноженное на n. Сумма двух кратных шести кратна шести — при любом натуральном n. Пункт доказан. Пункт в). Ищем наименьшее n с делимостью на 12. Замечаем: 12=4⋅312 = 4 \cdot 3, а 4 и 3 взаимно просты. Делимость на 3 уже есть — она входит в доказанную делимость на 6. Значит, всё решает делимость на 4. Считаем остаток по модулю 4 перебором. Так как 5n≡n(mod4)5n \equiv n \pmod 4, выражение сравнимо с n3+n=n(n2+1)n^3 + n = n(n^2 + 1): n mod 40123n(n2+1) mod 40222\begin{array}{c|cccc} n \bmod 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline n(n^2+1) \bmod 4 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{array} Остаток ноль получается только при n≡0(mod4)n \equiv 0 \pmod 4, то есть когда n само делится на 4. Наименьшее такое натуральное n — это 4. Проверяем: 43+5⋅4=64+20=84=12⋅74^3 + 5 \cdot 4 = 64 + 20 = 84 = 12 \cdot 7 И убеждаемся, что меньшие не подходят: при n = 1, 2, 3 значения равны 6, 18, 42 — ни одно не делится на 4, а значит, и на 12. Наименьшее n равно 4. Ответ: а) например, n = 1 (значение 6 не делится на 4); б) доказано: n³ + 5n = (n−1)n(n+1) + 6n, оба слагаемых кратны 6; в) наименьшее n = 4, значение 84 = 12·7..

Разбор из темы «Натуральные и целые числа, признаки делимости» в разделе теории.

Коротко

Вопросы про задание 20

Сколько баллов даёт задание 20 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 20 можно получить максимум 4 балла из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — развёрнутое решение, три пункта.

Какой уровень сложности у задания 20 по профильной математике?

Задание 20 относится к заданиям высокого уровня сложности; таких в работе 2 из 20.

Сколько времени тратить на задание 20?

Закладывайте около 40 минут: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 20?

По кодификатору ФИПИ задание 20 опирается на разделы: Натуральные и целые числа, признаки делимости; Рациональные числа; Логика.