Закон всемирного тяготения

Сила тяготения F = G(m_1 m_2)/(r^2). Здесь F — сила, Н; m_1, m_2 — массы тел, кг; r — расстояние между их центрами, м; G = 6,67 · 10^(−11) Н · м²/кг² — гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения F = Gm₁m₂/r²: величины

Величины в законе всемирного тяготения: обозначение, единица СИ и как её найти
ВеличинаОбозначениеЕдиница СИКак найти
Сила тяготенияFНF = G(m_1 m_2)/(r^2)
Гравитационная постояннаяGН · м²/кг²6,67 · 10^(−11) (на ЕГЭ 6,7 · 10^(−11))
Массы телm_1, m_2кгm_1 = (Fr^2)/(Gm_2)
Расстояние между центрамиrмr = √((Gm_1 m_2)/F)

Формула точна для материальных точек и для шаров (тогда r — расстояние между центрами). Для тела над Землёй r = R + h, где R — радиус Земли, h — высота.

Сможешь без таблицы? 3 вопроса

Закон всемирного тяготения: от простых к трудным. Как сила зависит от масс и расстояния, гравитационная постоянная и спутники.

Контрольная по этой теме скоро?

10 заданий и шпаргалка: Миша соберёт прогон по теме и карточки на утро.

Готовиться к контрольной

В 10–11 классе? Это задание 2 ЕГЭ

Закон всемирного тяготения F = Gm₁m₂/r²: величины
Закон всемирного тяготения F = Gm₁m₂/r²: величины — neuromisha.ruСохранить картинку

Как применять закон всемирного тяготения?

Закон всемирного тяготения: два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: F = Gm_1 m_2/r^2. Здесь F — сила в ньютонах, m_1 и m_2 — массы в килограммах, r — расстояние между центрами тел в метрах, G = 6,67 · 10^(−11) Н·м²/кг².

Скачать PDFА4, 1 лист, 226 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницуПолучить в TelegramПришлю эту таблицу в PDF — и, если захочешь, напомню повторить через 3 дня

Обновлено · Физика · физика 9 и 10 классов; справочные данные КИМ ЕГЭ

Формулы, которые следуют из закона тяготения

Ускорение свободного падения, спутники, космические скорости
ЧтоФормулаПояснение
Закон всемирного тяготенияF = G(m_1 m_2)/(r^2)сила направлена по линии, соединяющей центры
Ускорение свободного падения на планетеg = GM/(R^2)M и R — масса и радиус планеты
Сила тяжести на высоте hF = GMm/((R + h)^2)
Масса планеты по g и радиусуM = (gR^2)/Gтак «взвесили» Землю: M ≈ 6 · 10^24 кг
Скорость спутника на круговой орбитеv = √(GM/r)r — радиус орбиты; не зависит от массы спутника
Первая космическая скоростьv_1 = √(gR) ≈ 7,9 км/сдля низкой орбиты у поверхности Земли
Вторая космическая скоростьv_2 = √2v_1 ≈ 11,2 км/счтобы улететь от Земли
Период обращения спутникаT = 2π√((r^3)/(GM))
Третий закон Кеплера(T_1^2)/(T_2^2) = (r_1^3)/(r_2^3)для тел, обращающихся вокруг одного центра

Данные для задач на тяготение

Массы и расстояния в Солнечной системе (округлённые значения)
ВеличинаЗначение
Масса Земли6 · 10^24 кг
Радиус Земли6,4 · 10^6 м (6400 км)
Масса Луны7,3 · 10^22 кг
Радиус Луны1,7 · 10^6 м
Расстояние от Земли до Луны3,84 · 10^8 м
Масса Солнца2 · 10^30 кг
Расстояние от Земли до Солнца1,5 · 10^11 м

На экзамене нужные массы и радиусы дают в условии задачи.

Что говорит закон всемирного тяготения?

Все тела во Вселенной притягиваются друг к другу. Сила притяжения растёт с массами тел и быстро убывает с расстоянием: если расстояние увеличить вдвое, сила уменьшится вчетверо. Закон опубликовал И. Ньютон в 1687 году; одна и та же сила удерживает Луну на орбите и заставляет яблоко падать на землю.

Гравитационная постоянная очень мала, поэтому притяжение обычных предметов незаметно: два человека массой по 70 кг на расстоянии 1 м притягиваются с силой около 3 · 10^(−7) Н. Заметной сила становится, только когда одно из тел — планета или звезда.

Как выразить массу и расстояние?

Из F = Gm_1 m_2/r^2: масса m_1 = Fr^2/(Gm_2), расстояние r = √(Gm_1 m_2/F). В задачах чаще спрашивают «во сколько раз»: тогда G не нужна, достаточно увидеть, что сила пропорциональна массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Примеры задач на закон тяготения

Пример 1. С какой силой Земля притягивает Луну? F = 6,67 · 10^(−11) · 6 · 10^24 · 7,3 · 10^22 / (3,84 · 10^8)^2 ≈ 2 · 10^20 Н.

Пример 2. Масса планеты в 2 раза больше земной, радиус в 2 раза больше. g_пл = g · 2 / 2^2 = g/2 ≈ 4,9 м/с².

Пример 3. Спутник обращается на высоте, равной радиусу Земли. Радиус орбиты 2R, скорость v = √(GM/(2R)) = v_1/√2 ≈ 7,9 / 1,41 ≈ 5,6 км/с.

Какие ошибки делают в задачах на тяготение?

  • Подставляют высоту над поверхностью вместо расстояния до центра планеты.
  • Забывают возвести расстояние в квадрат.
  • Считают, что тяжёлый спутник должен лететь быстрее. Скорость на орбите от массы спутника не зависит.
  • Думают, что в невесомости на орбите тяготения нет. Оно есть — именно оно удерживает спутник на орбите.

В каком классе проходят закон всемирного тяготения?

Закон всемирного тяготения, ускорение свободного падения на других небесных телах и искусственные спутники проходят в 9 классе. В 10 классе закон повторяют в динамике и выводят первую космическую скорость. На ЕГЭ он встречается в задании 2 и в утверждениях заданий 5 и 18.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 18 ЕГЭ по физике. Для спутника на круговой орбите сила тяготения — центростремительная: GMm/r^{2} = mv^{2}/r. Масса спутника m сокращается, поэтому скорость и период от неё не зависят.

  1. Задание 18 ЕГЭ

    Из списка выберите все верные утверждения. 1) Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчёта. 2) При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется. 3) Энергия заряженного конденсатора пропорциональна квадрату напряжения. 4) Период обращения спутника по круговой орбите зависит от его массы. 5) Скорость звука в воздухе зависит от температуры.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Закон всемирного тяготения проверяет задание 2 ЕГЭ: во сколько раз изменится сила при изменении масс и расстояния, какое g на другой планете. Утверждения о спутниках встречаются в заданиях 5 и 18.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по физике

Вопросы и ответы

Как звучит закон всемирного тяготения?

Любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: F = Gm_1 m_2/r^2.

Кто открыл закон всемирного тяготения?

Исаак Ньютон. Он опубликовал закон в 1687 году в книге «Математические начала натуральной философии». Значение гравитационной постоянной впервые измерил Г. Кавендиш в конце XVIII века.

Чему равна гравитационная постоянная?

G ≈ 6,67 · 10^(−11) Н · м²/кг², в справочных данных ЕГЭ — 6,7 · 10^(−11). С такой силой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м.

Почему мы не чувствуем притяжения к соседним предметам?

Из-за малости G: сила притяжения двух людей на расстоянии метра — десятые доли микроньютона. Её перекрывают трение и любые другие силы.

Источники

  • Физика. 9 класс: учебник А. В. Перышкина, Е. М. Гутник (М.: Просвещение) — закон всемирного тяготения, ускорение свободного падения на других небесных телах, искусственные спутники Земли
  • Физика. 10 класс: учебник Г. Я. Мякишева, Б. Б. Буховцева, Н. Н. Сотского (М.: Просвещение) — закон всемирного тяготения, первая космическая скорость
  • ФИПИ: демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ по физике — справочные данные: G = 6,7 · 10^(−11) Н · м²/кг²; задания 2, 5 и 18

Другие справочные таблицы

Все таблицы по физике · все таблицы раздела