Метод интервалов: алгоритм и правило знаков

Метод интервалов: найдите нули числителя и знаменателя, отметьте их на прямой, определите знак справа и расставьте знаки, меняя их через корни нечётной кратности; выберите промежутки с нужным знаком.

Метод интервалов: алгоритм по шагам

Алгоритм метода интервалов на примере неравенства (x − 1)(x + 3)/(x − 5) ≥ 0
ШагЧто делатьНа примере ((x − 1)(x + 3))/(x − 5) ≥ 0
1перенести всё в одну часть, справа 0уже так
2разложить числитель и знаменатель на множители(x − 1)(x + 3) и (x − 5)
3найти нули числителя и знаменателя1, −3 и 5
4отметить точки: нули числителя при ≥ и ≤ — закрашенные, при > и < — выколотые; нули знаменателя — всегда выколотые−3 и 1 закрашены, 5 выколота
5найти знак на крайнем правом промежутке, подставив большое xпри x = 10: (9 · 13)/5 > 0, знак «+»
6расставить знаки справа налево, меняя их через корни нечётной кратности+ на (5; +∞), − на (1; 5), + на (−3; 1), − на (−∞; −3)
7выбрать промежутки со знаком из неравенстваx ∈ [−3; 1] ∪ (5; +∞)
Метод интервалов: алгоритм по шагам
Метод интервалов: алгоритм по шагам — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться таблицами?

Метод интервалов решает неравенства вида f(x) > 0, где f(x) — произведение или частное множителей: найдите нули числителя и знаменателя, отметьте их на числовой прямой, определите знак на каждом промежутке и выберите нужные. Знак меняется при переходе через корень нечётной кратности и сохраняется — чётной. В первой таблице — алгоритм по шагам, во второй — правила знаков и точек, в третьей — решённые примеры.

Скачать PDFА4, 1 лист, 206 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс алгебры 9–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Правила знаков и точек

Когда знак меняется, когда нет, и какие точки закрашивать
СитуацияЧто делатьПример
корень нечётной кратности: (x − a), (x − a)^3знак меняется(x − 2)(x + 1): знаки +, −, +
корень чётной кратности: (x − a)^2, (x − a)^4знак не меняется(x − 2)^2(x + 1): знаки +, +, −
неравенство строгое: > или <нули числителя выколоты(x − 2)(x + 1) > 0: x < −1 или x > 2
неравенство нестрогое: ≥ или ≤нули числителя закрашеныx^2 − 5x + 6 ≤ 0: 2 ≤ x ≤ 3
нуль знаменателявсегда выколот(x + 3)/(x − 1) ≥ 0: x ≤ −3 или x > 1
множитель без корней: x^2 + 1, e^xвсегда положителен — отбросить(x^2 + 1)(x − 3) < 0 ⇔ x < 3
множитель вида (a − x)переписать как −(x − a) и поменять знак неравенства(3 − x)(x + 1) > 0 ⇔ (x − 3)(x + 1) < 0

Решённые неравенства методом интервалов

Примеры неравенств и ответы, найденные методом интервалов
НеравенствоНулиОтвет
(x − 2)(x + 1) > 0−1; 2(−∞; −1) ∪ (2; +∞)
x^2 − 5x + 6 ≤ 02; 3[2; 3]
(x + 3)/(x − 1) ≥ 0−3; 1 (выколота)(−∞; −3] ∪ (1; +∞)
x^3 − 4x > 0−2; 0; 2(−2; 0) ∪ (2; +∞)
(x − 1)^2(x + 2) < 0−2; 1 (чётная)(−∞; −2)
(x − 1)^2(x + 2) ≤ 0−2; 1 (чётная)(−∞; −2] ∪ {1}
(x(x − 4))/((x + 1)^2) ≥ 00; 4; −1 (выколота, чётная)(−∞; −1) ∪ (−1; 0] ∪ [4; +∞)

Каждый ответ проверен подстановкой точек из всех промежутков. Если корни квадратного трёхчлена не находятся подбором, их дают формула дискриминанта или теорема Виета.

Почему метод интервалов работает?

Непрерывная функция меняет знак только там, где обращается в ноль или не определена. Поэтому между соседними нулями числителя и знаменателя знак левой части постоянен — его достаточно узнать в одной точке промежутка.

Множитель (x − a) меняет знак при переходе через a, а (x − a)^2 — нет: квадрат неотрицателен с обеих сторон. Отсюда правило чётной и нечётной кратности.

Метод интервалов в неравенствах с логарифмами и степенями

В задании 16 ЕГЭ неравенство обычно сначала сводят к рациональному. Пример: log_2(x − 1) ≤ 3 при ОДЗ x > 1 превращается в x − 1 ≤ 8. А неравенство (2^x − 4)(x + 3) ≥ 0 решают методом интервалов сразу: множитель 2^x − 4 обращается в ноль при x = 2 и меняет знак так же, как x − 2.

Это частный случай метода рационализации: множитель, который меняет знак в тех же точках, что и более простое выражение, можно заменить этим выражением.

Где ошибаются чаще всего?

  • Начинают расставлять знаки со знака «+» справа, не проверив: при множителе (3 − x) справа будет «−».
  • Чередуют знаки через корень чётной кратности.
  • Закрашивают нуль знаменателя в нестрогом неравенстве — на ноль делить нельзя.
  • Теряют изолированную точку: в (x − 1)^2(x + 2) ≤ 0 значение x = 1 входит в ответ.

Проверь себя

Метод интервалов: решить неравенство: 5 вопросов, от простых к трудным. От простого произведения к дробям и корням чётной кратности.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Метод интервалов на ЕГЭ 2027 по профильной математике — главный инструмент задания 16 (неравенство с развёрнутым решением), а также задачи с параметром в задании 19. На базе — задание 18 «Неравенства и соответствие».

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Что такое метод интервалов?

Способ решать неравенства, в которых левая часть — произведение или частное множителей, а справа ноль. Нули множителей делят прямую на промежутки, на каждом знак постоянен, и остаётся выбрать нужные.

Почему через некоторые точки знак не меняется?

Если множитель входит в чётной степени, например (x − 2)^2, он неотрицателен по обе стороны от корня и знак произведения при переходе через эту точку сохраняется.

Когда точку закрашивать, а когда выкалывать?

Нули числителя закрашивают в нестрогом неравенстве (≥, ≤) и выкалывают в строгом (>, <). Нули знаменателя выкалывают всегда.

Можно ли решать методом интервалов квадратные неравенства?

Да: x^2 − 5x + 6 ≤ 0 записывают как (x − 2)(x − 3) ≤ 0, получают знаки +, −, + и ответ [2; 3]. Это тот же результат, что даёт парабола с ветвями вверх.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела