Графики функций: виды, рисунки и свойства

Основные графики функций: y = kx + b — прямая, y = ax^2 + bx + c — парабола, y = k/x — гипербола, y = sin x — синусоида; все 12 видов — на рисунках ниже.

Графики функций: основные виды

Графики основных элементарных функций: формула, вид графика, область определения, множество значений и свойства
ФункцияФормулаГрафик и свойства
Постояннаяy = bпрямая, параллельная оси Ox; D(y) = ℝ, E(y) = {b}
Линейнаяy = kx + bпрямая; k — угловой коэффициент (k > 0 — возрастает, k < 0 — убывает), b — точка пересечения с осью Oy; D(y) = ℝ
Прямая пропорциональностьy = kxпрямая через начало координат; при k > 0 — в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV
Квадратичнаяy = ax^2 + bx + cпарабола; a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз; вершина при x_0 = −b/(2a); с осью Oy пересекается в точке (0; c)
Кубическаяy = x^3кубическая парабола; D(y) = E(y) = ℝ; нечётная, возрастает на всей оси
Обратная пропорциональностьy = k/xгипербола; x ≠ 0, y ≠ 0; асимптоты — оси координат; k > 0 — ветви в I и III четвертях, k < 0 — во II и IV
Квадратный кореньy = √xверхняя ветвь параболы, повёрнутой вправо; D(y): x ≥ 0, E(y): y ≥ 0; возрастает; проходит через (0; 0), (1; 1), (4; 2)
Модульy = |x|угол с вершиной в начале координат, стороны — y = x и y = −x; E(y): y ≥ 0; чётная
Показательнаяy = a^x, a > 0, a ≠ 1экспонента; D(y) = ℝ, E(y): y > 0; проходит через (0; 1); a > 1 — возрастает, 0 < a < 1 — убывает; асимптота y = 0
Логарифмическаяy = log_a x, a > 0, a ≠ 1D(y): x > 0, E(y) = ℝ; проходит через (1; 0); асимптота x = 0; симметрична графику y = a^x относительно прямой y = x
Синусy = sin xсинусоида; D(y) = ℝ, E(y) = [−1; 1]; период 2π; нечётная; нули x = πn
Косинусy = cos xсинусоида, сдвинутая на π/2 влево; E(y) = [−1; 1]; период 2π; чётная; нули x = π/2 + πn
Тангенсy = tg xтангенсоида; x ≠ π/2 + πn — там вертикальные асимптоты; E(y) = ℝ; период π; возрастает на каждом промежутке
Котангенсy = ctg xx ≠ πn — асимптоты; E(y) = ℝ; период π; убывает на каждом промежутке
xyO11k > 0
y = kx + b — прямая
xyO11
y = x² — парабола
xyO11
y = x³ — кубическая парабола
xyO11
y = k/x — гипербола
xyO11
y = √x — ветвь параболы
xyO11
y = |x| — «галочка»
xyO11
y = aˣ, a > 1 — экспонента
xyO11
y = logₐ x, a > 1 — логарифм
xyO−ππ1
y = sin x — синусоида
xyO−ππ1
y = cos x — косинусоида
xyOπ/21
y = tg x — тангенсоида
xyO−ππ1
y = ctg x — котангенсоида

D(y) — область определения, E(y) — множество значений, n — любое целое число. Графики обратных тригонометрических функций — на странице обратные тригонометрические функции, подробно о показательной — показательная функция.

Графики функций: основные виды
Графики функций: основные виды — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться рисунками и таблицей?

График функции y = f(x) — это все точки координатной плоскости с координатами (x; f(x)). У каждого вида функции свой узнаваемый график: у линейной — прямая, у квадратичной — парабола, у y = k/x — гипербола. Ниже 12 основных графиков школьного курса на рисунках, а в таблице — формула, область определения, множество значений и главные свойства каждого.

Скачать PDFА4, 2 листа, 432 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс алгебры 7–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике, раздел «Функции»

Преобразования графиков: сдвиги, отражения, растяжения

Как из графика y = f(x) получить график другой функции
ФормулаЧто происходит с графиком y = f(x)Пример
y = f(x) + bсдвиг вдоль оси Oy на b: вверх при b > 0, вниз при b < 0y = x^2 + 3 — парабола поднята на 3
y = f(x − a)сдвиг вдоль оси Ox на a: вправо при a > 0, влево при a < 0y = (x − 2)^2 — вершина в точке (2; 0)
y = −f(x)симметрия относительно оси Oxy = −x^2 — ветви вниз
y = f(−x)симметрия относительно оси Oyy = 2^(−x) = (1/2)^x
y = k · f(x), k > 1растяжение от оси Ox в k раз; при 0 < k < 1 — сжатие к оси Oxy = 3 sin x — значения от −3 до 3
y = f(kx), k > 1сжатие к оси Oy в k раз; при 0 < k < 1 — растяжениеy = sin 2x — период π вместо 2π
y = |f(x)|часть графика под осью Ox отражается вверхy = |x^2 − 4| — «впадина» между −2 и 2 перевёрнута
y = f(|x|)правая половина (x ≥ 0) остаётся и отражается влевоy = x^2 − 4|x| — две одинаковые «ямы»
x = f(y)обратная функция: симметрия относительно прямой y = xy = √x и y = x^2 при x ≥ 0

Преобразования выполняют по одному, от аргумента к значению: y = 2(x − 1)^2 + 3 — сдвиг y = x^2 на 1 вправо, растяжение в 2 раза от оси Ox, сдвиг на 3 вверх.

Как по графику найти коэффициенты формулы

Что видно на рисунке и как по этому найти коэффициенты функции — приёмы для задания 12 ЕГЭ
Вид функцииЧто искать на графикеКак найти коэффициенты
y = kx + bточку на оси Oy и ещё одну точку с целыми координатамиb — ордината точки на оси Oy; k = (y_2 − y_1)/(x_2 − x_1)
y = ax^2 + bx + cточку на оси Oy, вершину, соседнюю с ней точкуc = f(0); x_0 = −b/(2a); шаг на 1 от вершины поднимает график на a
y = k/(x − a) + bвертикальную и горизонтальную асимптотыx = a и y = b — асимптоты; k = (y − b)(x − a) по любой точке
y = a^x + bгоризонтальную асимптоту и точку при x = 0y = b — асимптота; f(0) = 1 + b
y = log_a(x + b)вертикальную асимптоту и точку на оси Oxx = −b — асимптота; f(1 − b) = 0
y = √(x − a) + bначальную точку графика(a; b) — начало ветви; дальше по точке находят множитель
y = a sin x + bнаибольшее и наименьшее значенияb — середина между ними, |a| — половина размаха

Коэффициенты берут по точкам, у которых обе координаты целые: на рисунках ЕГЭ такие точки отмечены жирно.

Что такое график функции?

График функции y = f(x) — множество всех точек плоскости, у которых абсцисса x берётся из области определения, а ордината равна f(x). Поэтому точка лежит на графике, только если её координаты превращают формулу в верное равенство: точка (2; 4) лежит на графике y = x^2, потому что 2^2 = 4, а точка (2; 5) — нет.

Не всякая линия — график функции: каждому x соответствует ровно одно значение y. Окружность x^2 + y^2 = 1 графиком функции не является — вертикальная прямая x = 0 пересекает её дважды.

Как построить график функции?

Сначала определите вид функции по формуле и найдите область определения. Затем составьте таблицу из 5–7 значений x, посчитайте y, отметьте точки и соедините их плавной линией, помня о виде графика.

Пример: y = x^2 − 2x − 3. Это парабола с ветвями вверх (a = 1 > 0). Вершина x_0 = −(−2)/2 = 1, y_0 = 1 − 2 − 3 = −4. С осью Oy — точка (0; −3), с осью Ox — корни уравнения x^2 − 2x − 3 = 0: x = −1 и x = 3. По пяти точкам (−1; 0), (0; −3), (1; −4), (2; −3), (3; 0) парабола строится точно.

Сложную функцию удобнее строить преобразованиями знакомого графика: y = (x − 1)^2 − 4 — та же парабола y = x^2, сдвинутая на 1 вправо и на 4 вниз.

Как читать график: что спрашивают, если «на рисунке изображён график функции»?

  • Значение функции f(a) — ордината точки графика с абсциссой a.
  • Нули функции — абсциссы точек пересечения с осью Ox.
  • Промежутки возрастания и убывания — где график идёт вверх и вниз при движении слева направо.
  • Точки максимума и минимума — абсциссы «вершин» и «впадин»; сами значения в этих точках — максимум и минимум.
  • Промежутки знакопостоянства — где график выше оси Ox (f(x) > 0) и где ниже (f(x) < 0).

Где ошибаются чаще всего?

  • Сдвигают график y = f(x − 2) влево. Правильно — вправо: вершина y = (x − 2)^2 там, где x − 2 = 0, то есть при x = 2.
  • Путают точки (0; b) и (b; 0): свободный член b линейной функции — это пересечение с осью Oy.
  • Рисуют гиперболу y = k/x, пересекающей оси. Ни при каком x значение k/x не равно нулю, и при x = 0 функция не определена.
  • Забывают про область определения: график y = √x начинается в точке (0; 0) и влево не продолжается, а y = log_2 x существует только при x > 0.

Проверь себя

Графики функций: узнать по формуле и по рисунку: 5 вопросов, от простых к трудным. От названия графика к чтению коэффициентов — как в задании 12.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 12 ЕГЭ по профильной математике. Пригодятся строки «Линейная» и «Квадратичная»: коэффициент k находят по двум точкам прямой, а абсциссу вершины параболы — по формуле x_{0} = −frac{b}{2a} или прямо из записи y = (x − x_{0})^{2} + y_{0}.

  1. Задание 1 из 2

    Функция y = kx + b проходит через точки (2; 5) и (6; 13). Найдите k + b.

    Показать ответ

  2. Задание 2 из 2

    Функция y = (x-1)^2 - 4. Найдите абсциссу вершины параболы и укажите, в какую сторону направлены ветви (вверх или вниз). В ответе запишите абсциссу вершины.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Графики функций на ЕГЭ по профильной математике — задание 12: по рисунку найти коэффициенты формулы или значение функции. Чтение графика производной — задание 9, а на базовом уровне — задание 7.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Какие бывают графики функций?

В школьном курсе — прямая (y = kx + b), парабола (y = ax^2 + bx + c), кубическая парабола (y = x^3), гипербола (y = k/x), ветвь параболы (y = √x), график модуля, экспонента (y = a^x), логарифмическая кривая и тригонометрические графики: синусоида, косинусоида, тангенсоида.

Как понять, что график — парабола?

Если в формуле старшая степень переменной — вторая: y = ax^2 + bx + c при a ≠ 0. Ветви смотрят вверх при a > 0 и вниз при a < 0, а вершина лежит на прямой x = −b/(2a).

Как найти k по графику линейной функции?

Возьмите две точки прямой с целыми координатами и разделите разность ординат на разность абсцисс: k = (y_2 − y_1)/(x_2 − x_1). Через (1; 2) и (3; 8) получается k = 6/2 = 3.

Чем график y = f(x) + 2 отличается от y = f(x + 2)?

Первый сдвинут на 2 вверх, второй — на 2 влево. Слагаемое вне функции двигает график по вертикали, внутри аргумента — по горизонтали и в обратную знаку сторону.

Можно ли построить график функции онлайн?

Можно в любом графическом калькуляторе, но на ЕГЭ его не будет. Надёжнее узнавать вид графика по формуле и строить по 5–7 точкам: так же решают задание 12, где по рисунку восстанавливают формулу.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела