Свойства степеней: таблица формул
Главные свойства степеней: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Кроме того, a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0.
Свойства степеней: таблица
| Свойство | Формула | Условие и пример |
|---|---|---|
| Умножение степеней | a^m · a^n = a^(m + n) | основания одинаковые: 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128 |
| Деление степеней | a^m : a^n = a^(m − n) | a ≠ 0: 5^7 : 5^5 = 5^2 = 25 |
| Степень степени | (a^m)^n = a^(mn) | (3^2)^3 = 3^6 = 729 |
| Степень произведения | (ab)^n = a^n b^n | и обратно: 2^5 · 5^5 = 10^5 |
| Степень дроби | (a/b)^n = (a^n)/(b^n) | b ≠ 0: (2/3)^2 = 4/9 |
| Нулевой показатель | a^0 = 1 | a ≠ 0; выражение 0^0 не определено |
| Первая степень | a^1 = a | 7^1 = 7 |
| Отрицательный показатель | a^(−n) = 1/(a^n) | a ≠ 0: 2^(−3) = 1/8 |
| Дробь в отрицательной степени | (a/b)^(−n) = (b/a)^n | (2/3)^(−2) = (3/2)^2 = 9/4 |
| Дробный показатель | a^(m/n) = ⁿ√(a^m) | a > 0: 4^(3/2) = √(4^3) = 8 |
| Степень единицы и нуля | 1^n = 1, 0^n = 0 | для 0^n — при n > 0 |
Свойства умножения и деления работают только для одинаковых оснований, степени произведения и дроби — для одинаковых показателей. Для суммы и разности степеней свойств нет. Значения степеней от 1 до 10 — в таблице степеней. На ЕГЭ свойства степеней нужны в задании 16 базового уровня и задании 8 профильного.
Как пользоваться таблицей?
Свойства степеней позволяют упрощать выражения, не вычисляя каждую степень. В первой таблице — все свойства: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени, произведения и дроби, нулевой, отрицательный и дробный показатель. Во второй — примеры на каждое свойство, в третьей — ошибки, которые чаще всего стоят баллов.
Скачать PDFА4, 2 листа, 254 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры на свойства степеней
| Выражение | Свойство | Результат |
|---|---|---|
| 3^4 · 3^(−2) | умножение степеней | 3^2 = 9 |
| (7^10)/(7^8) | деление степеней | 7^2 = 49 |
| (2^3)^2 | степень степени | 2^6 = 64 |
| 4^3 · 25^3 | степень произведения | 100^3 = 1 000 000 |
| (6^4)/(3^4) | степень дроби | 2^4 = 16 |
| (−5)^0 | нулевой показатель | 1 |
| 10^(−3) | отрицательный показатель | 0,001 |
| (1/2)^(−4) | дробь в отрицательной степени | 2^4 = 16 |
| 81^(1/4) | дробный показатель | 3 |
| 125^(2/3) | дробный показатель | 25 |
| (4^5)/(2^8) | общее основание: 4 = 2^2 | 2^10 : 2^8 = 4 |
| (2^7 · 3^5)/(6^5) | степень произведения | 2^7 : 2^5 = 4 |
Частые ошибки со степенями
| Неверно | Верно | Почему |
|---|---|---|
| a^m + a^n = a^(m + n) | 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 | складывать показатели можно только при умножении |
| (a + b)^2 = a^2 + b^2 | (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 | степень суммы раскрывают по формуле сокращённого умножения |
| −3^2 = 9 | −3^2 = −9, (−3)^2 = 9 | без скобок в степень возводится только 3 |
| 2^(−3) = −8 | 2^(−3) = 1/8 | отрицательный показатель даёт дробь, а не отрицательное число |
| (a^3)^2 = a^5 | (a^3)^2 = a^6 | показатели перемножают, а не складывают |
| 2^3 · 3^2 = 6^5 | 2^3 · 3^2 = 8 · 9 = 72 | разные основания и разные показатели не объединяются |
Что такое степень числа?
Степень a^n с натуральным показателем — произведение n одинаковых множителей a: 2^5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Число a называют основанием, n — показателем. Из этого определения выводятся все свойства: при умножении 2^3 · 2^2 получается 3 + 2 = 5 двоек подряд. Отрицательный и дробный показатели определяют так, чтобы свойства остались верными: a^(−n) = 1/a^n, a^(1/n) = ⁿ√a.
Как применять свойства степеней?
- Сведите к одному основанию. 8 = 2^3, 27 = 3^3, 0,25 = 2^(−2), √5 = 5^(1/2).
- Соберите показатели: при умножении сложите, при делении вычтите, степень степени — перемножьте.
- Разные основания, одинаковый показатель — перемножьте основания: 4^3 · 25^3 = 100^3.
- Вычисляйте в конце, когда показатель стал маленьким: так меньше шансов ошибиться. Значения — в таблице степеней.
Какие свойства степеней проходят в 7 классе?
В 7 классе — свойства степени с натуральным показателем: первые пять строк таблицы и a^0 = 1. В 8 классе добавляется степень с целым отрицательным показателем, в 10–11 классах — с рациональным и действительным, а на ней строятся показательная функция и логарифмы. Свойства логарифмов — те же свойства степеней, записанные для показателя: они собраны на странице свойства логарифмов.
Проверь себя
Свойства степеней: упростите: 5 вопросов, от простых к трудным. В заданиях 16 базы и 8 профиля степень сначала сводят к одному основанию.
Дальше — задание 16 по базовой математике. Степени, корни, логарифмы — 31 задание с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 8 ЕГЭ по профильной математике. Пригодятся строки «Дробный показатель» и «Степень степени»: представьте основание степенью простого числа, например 27 = 3³, и умножьте показатели.
-
Задание 1 из 3
Найдите значение выражения: 27^(2/3).
Показать ответ
-
Задание 2 из 3
Найдите значение выражения: 16^(3/4) - 8^(2/3).
Показать ответ
-
Задание 3 из 3
Найдите значение выражения 32^(2/5) + 27^(1/3).
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Свойства степеней проверяет задание 16 базового уровня и задание 8 профильного — найти значение выражения со степенями и корнями. Они же нужны в показательных уравнениях задания 7 и в задаче 14 профиля.
- Задание 16 ЕГЭ базы: степени, корни, логарифмыЗначение выражения вида (5^7 · 5^3) / 5^8.
- Задание 8 ЕГЭ профиля: значение выраженияДробные показатели и сведение к одному основанию.
- Задание 7 ЕГЭ профиля: простейшее уравнениеПоказательные уравнения: обе части — степени одного основания.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Сколько свойств степеней нужно знать?
Пять основных: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени, степень произведения и степень дроби. К ним добавляют определения a^0 = 1, a^(−n) = 1/a^n и a^(m/n) = ⁿ√(a^m).
Почему любое число в нулевой степени равно 1?
Так нужно, чтобы работало свойство деления: a^n : a^n = a^(n − n) = a^0, а любое ненулевое число, делённое на себя, равно 1. Для a = 0 деление невозможно, поэтому 0^0 не определено.
Как умножить степени с разными основаниями?
Если показатели одинаковые — перемножьте основания: 2^4 · 5^4 = 10^4. Если разные — попробуйте свести к одному основанию (4^3 · 2^5 = 2^6 · 2^5 = 2^11), иначе просто вычислите каждую степень.
Чему равна степень с отрицательным показателем?
Единице, делённой на ту же степень с положительным показателем: 3^(−2) = 1/9, 10^(−3) = 0,001. Знак результата от минуса в показателе не меняется.
Источники
- Алгебра. 7 и 8 классы: учебники Ю. Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) — степень с натуральным и целым показателем и её свойства
- ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике — степень с целым и рациональным показателем, свойства степени; задания 16 базового и 8 профильного уровня