Теорема Виета: формулы и примеры

Теорема Виета: если x₁ и x₂ — корни уравнения x² + px + q = 0, то x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Для ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a. Например, у x² − 5x + 6 = 0 корни 2 и 3.

Формулы теоремы Виета

Теорема Виета для приведённого и полного квадратного уравнения, обратная теорема и следствия
ЧтоФормулаПояснение
Сумма корней приведённого уравненияx_1 + x_2 = −pдля x^2 + px + q = 0: второй коэффициент с обратным знаком
Произведение корней приведённого уравненияx_1 · x_2 = qсвободный член
Сумма корней, общий видx_1 + x_2 = −b/aдля ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Произведение корней, общий видx_1 · x_2 = c/aдля ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Обратная теоремаm + n = −p, mn = q ⇒ x^2 + px + q = (x − m)(x − n)если числа m и n дают такую сумму и произведение, они — корни уравнения
Сумма квадратов корнейx_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 − 2x_1 x_2без нахождения самих корней
Сумма обратных величин1/(x_1) + 1/(x_2) = (x_1 + x_2)/(x_1 x_2)при q ≠ 0
Квадрат разности корней(x_1 − x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 − 4x_1 x_2для приведённого уравнения равен дискриминанту p^2 − 4q

Формулы верны, когда корни существуют: дискриминант не отрицателен. У уравнения x^2 + 2x + 5 = 0 «сумма −2 и произведение 5» есть, а действительных корней нет, потому что D = 4 − 20 < 0.

Калькулятор дискриминанта и корней: ax² + bx + c = 0

Уравнение: x² − 5x + 6 = 0

x₁ = 3, x₂ = 2

D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1 > 0 — два корня

x = (−b ± √D) / 2a = (5 ± 1)/2

Проверка по теореме Виета: x₁ + x₂ = −b/a = 5, x₁ · x₂ = c/a = 6.

Теорема Виета: формулы теоремы Виета
Теорема Виета: формулы теоремы Виета — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться таблицей?

Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами: сумма корней приведённого уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, произведение — свободному члену. В первой таблице — формулы для приведённого и общего вида и полезные следствия, во второй — уравнения с корнями для проверки, в третьей — знаки корней.

Скачать PDFА4, 2 листа, 239 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · учебник алгебры 8 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Примеры: корни квадратных уравнений по теореме Виета

Приведённые квадратные уравнения, сумма и произведение их корней и сами корни
УравнениеСумма x_1 + x_2Произведение x_1 x_2Корни
x^2 − 5x + 6 = 0562 и 3
x^2 − 5x + 4 = 0541 и 4
x^2 − 7x + 10 = 07102 и 5
x^2 − 7x + 12 = 07123 и 4
x^2 − 8x + 15 = 08153 и 5
x^2 − 10x + 21 = 010213 и 7
x^2 + 5x + 6 = 0−56−3 и −2
x^2 + 6x + 8 = 0−68−4 и −2
x^2 + 9x + 20 = 0−920−5 и −4
x^2 + x − 12 = 0−1−12−4 и 3
x^2 − 2x − 15 = 02−15−3 и 5
x^2 + 2x − 15 = 0−2−15−5 и 3
x^2 − x − 20 = 01−20−4 и 5
x^2 + 2x − 24 = 0−2−24−6 и 4
x^2 + 5x − 14 = 0−5−14−7 и 2
x^2 − 9 = 00−9−3 и 3

Подбор начинают с произведения: перебирают пары делителей свободного члена и смотрят, какая даёт нужную сумму. Если свободный член отрицателен, корни разных знаков.

Знаки корней по коэффициентам p и q

Знаки корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 при D ≥ 0
КоэффициентыЗнаки корнейПример
q > 0, p < 0оба положительныеx^2 − 5x + 6 = 0: корни 2 и 3
q > 0, p > 0оба отрицательныеx^2 + 5x + 6 = 0: корни −3 и −2
q < 0, p < 0разных знаков, положительный больше по модулюx^2 − 2x − 15 = 0: корни −3 и 5
q < 0, p > 0разных знаков, отрицательный больше по модулюx^2 + 2x − 15 = 0: корни −5 и 3
q < 0, p = 0противоположные числаx^2 − 9 = 0: корни −3 и 3
q = 0один корень 0, второй −px^2 − 4x = 0: корни 0 и 4

Как звучит теорема Виета?

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Приведённое — значит, коэффициент при x^2 равен 1. Если он не равен 1, уравнение делят на a, и получаются формулы x_1 + x_2 = −b/a и x_1 x_2 = c/a.

Что говорит обратная теорема Виета?

Если числа m и n таковы, что m + n = −p и mn = q, то m и n — корни уравнения x^2 + px + q = 0. На ней держатся и подбор корней, и составление уравнения по корням: для корней 4 и −1 сумма 3, произведение −4, уравнение x^2 − 3x − 4 = 0.

Как решать квадратное уравнение по теореме Виета?

  • Приведите уравнение, если a ≠ 1: 3x^2 − 15x + 18 = 0 делим на 3, получаем x^2 − 5x + 6 = 0.
  • Разложите свободный член на пары множителей: 6 = 1 · 6 = 2 · 3, для отрицательного — с разными знаками.
  • Выберите пару с суммой −p: 2 + 3 = 5 — корни 2 и 3.
  • Не подбирается за полминуты — считайте через дискриминант: корни могут быть дробными или иррациональными.

Почему теорема Виета верна?

По формуле корней x_1,2 = (−p ± √D)/2, где D = p^2 − 4q. Сложим корни: слагаемые с √D сократятся, останется −2p/2 = −p. Перемножим: по формуле разности квадратов получится (p^2 − D)/4 = (p^2 − p^2 + 4q)/4 = q.

Проверь себя

Корни по теореме Виета: 5 вопросов, от простых к трудным. Подбор корней за несколько секунд — экономия времени в заданиях 17 базы и 7 профиля.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 17 ЕГЭ по базовой математике. Подберите два числа с произведением 14 и суммой 9 — это 2 и 7; в ответ идёт больший корень.

  1. Задание 17 ЕГЭ

    Решите уравнение x^2 - 9x + 14 = 0. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший корень.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Теорема Виета экономит время в задании 17 базового уровня и в задании 7 профильного: большинство квадратных уравнений там решаются подбором. В задачах с параметром (задание 19) по ней оценивают знаки корней, не находя их.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Когда можно пользоваться теоремой Виета?

Когда у квадратного уравнения есть действительные корни, то есть D ≥ 0. Для подбора корней удобнее всего приведённое уравнение с целыми коэффициентами; для неприведённого берите формулы с −b/a и c/a.

Как найти второй корень, если известен первый?

Через сумму или произведение: у x^2 − 11x + 28 = 0 при x_1 = 4 второй корень равен 11 − 4 = 7 или 28 : 4 = 7.

Работает ли теорема Виета при D = 0?

Да, корень считают дважды: у x^2 − 6x + 9 = 0 корень 3 и 3, сумма 6, произведение 9 — как и требует теорема.

Кто такой Виет?

Франсуа Виет — французский математик XVI века, один из создателей буквенной алгебры. Связь корней с коэффициентами он описал для уравнений любой степени, в школе её изучают для квадратных.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела