Объём цилиндра: формулы и калькулятор
Формула объёма цилиндра: V = πr^2 h — площадь основания, умноженная на высоту, где r — радиус основания, h — высота. Через диаметр V = (πd^2 h)/4.
Формулы объёма цилиндра
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Радиус и высота | V = πr^2 h | площадь основания πr^2, умноженная на высоту |
| Диаметр и высота | V = (πd^2 h)/4 | r = d/2 |
| Площадь основания и высота | V = S_осн · h | как у призмы |
| Боковая поверхность и радиус | V = (S_бок · r)/2 | из S_бок = 2πrh: h = (S_бок)/(2πr) |
| Полый цилиндр (труба) | V = π(R^2 − r^2)h | R и r — внешний и внутренний радиусы, h — длина трубы |
| Высота по объёму | h = V/(πr^2) | обратная задача |
| Радиус по объёму | r = √(V/(πh)) | обратная задача |
1 дм^3 = 1 л, 1 м^3 = 1000 л, 1 см^3 = 1 мл. Размеры переводят в одни единицы до умножения. Объём цилиндра нужен в задании 3 профильной математики и в задачах на тела вращения базового уровня.
Как найти объём цилиндра?
Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту: V = πr²h. Если известен диаметр, радиус — его половина, и V = πd²h/4. Для труб, бочек и баков объём удобно сразу переводить в литры: 1 дм³ — это 1 литр, а 1 м³ — 1000 литров. Калькулятор выше делает это сам.
Скачать PDFА4, 1 лист, 264 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: как найти объём цилиндра
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| r = 3, h = 10 | V = π · 9 · 10 | 90π ≈ 282,74 |
| Кастрюля: диаметр 20 см, высота 30 см | r = 10; V = π · 100 · 30 = 3000π см^3 | ≈ 9,42 л |
| Площадь основания 16π, h = 5 | V = 16π · 5 | 80π ≈ 251,33 |
| Бочка: диаметр 0,6 м, высота 0,9 м | V = π · 0,09 · 0,9 = 0,081π м^3 | ≈ 254 л |
| Труба: R = 5 см, r = 4 см, длина 100 см | V = π(25 − 16) · 100 = 900π | ≈ 2827 см^3 |
| Боковая поверхность 40π, r = 4 | h = 40π/(8π) = 5; V = π · 16 · 5 | 80π |
Объём цилиндра через диаметр и в литрах
Диаметр — удвоенный радиус, поэтому V = π(d/2)^2 h = (πd^2 h)/4. Кастрюля диаметром 20 см и высотой 30 см имеет объём 3000π ≈ 9425 см^3.
Чтобы сразу получить литры, размеры переводят в дециметры: 2 дм и 3 дм, V = π · 1^2 · 3 = 3π ≈ 9,42 дм^3 = 9,42 л. Для бочек и баков удобнее метры: 0,081π м^3 ≈ 0,254 м^3 = 254 л.
Объём трубы и полого цилиндра
Стенка трубы — полый цилиндр: из объёма внешнего цилиндра вычитают объём внутреннего. V = π(R^2 − r^2)h. Так считают объём металла трубы или бетона кольца колодца.
Объём воды внутри трубы — обычный цилиндр с внутренним радиусом: πr^2 h. Для трубы с внутренним диаметром 5 см и длиной 10 м это π · 0,25^2 · 100 ≈ 19,6 дм^3, почти 20 литров.
Задачи про уровень воды в сосуде
Когда воду переливают из одного цилиндрического сосуда в другой, объём не меняется: πr_1^2 h_1 = πr_2^2 h_2. Если диаметр второго сосуда вдвое больше, площадь дна больше вчетверо, и уровень вчетверо ниже.
Если в сосуд погрузили деталь, её объём равен объёму поднявшейся воды: π · r^2 · Δh. При радиусе сосуда 5 см и подъёме уровня на 2 см объём детали 50π ≈ 157 см^3.
Проверь себя
Объём цилиндра: 5 вопросов, от простых к трудным. Радиус и диаметр, высота по объёму, литры и переливание воды.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 3 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Площадь основания и высота»: V = S_{осн} · h, множитель π сохраняется в ответе.
-
Задание 3 ЕГЭ
Площадь основания цилиндра равна 25*pi. Высота цилиндра равна 7. Найдите объём цилиндра. Ответ выразите через pi и укажите числовой множитель.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Объём цилиндра нужен в задании 3 профильной математики и в задачах на тела вращения и сосуды с водой базового уровня. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: объём цилиндра через площадь основания, ответ через π.
- Задание 13 базовой математикиТела вращения: во сколько раз один объём больше другого.
- Задание 11 базовой математикиОбъём тела по поднявшемуся уровню воды в сосуде.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как посчитать объём цилиндра в литрах?
Перевести радиус и высоту в дециметры и посчитать V = πr²h: кубические дециметры и есть литры. Если считали в сантиметрах, результат делят на 1000, в метрах — умножают на 1000.
Как найти объём цилиндра, если известен диаметр?
По формуле V = πd²h/4 или через радиус r = d/2. При диаметре 10 и высоте 20 объём 500π ≈ 1570,8.
Что сильнее влияет на объём цилиндра — радиус или высота?
Радиус: он стоит в квадрате. Радиус вдвое больше — объём в 4 раза больше, высота вдвое больше — объём только в 2 раза больше.
Как найти объём трубы?
Объём металла — π(R² − r²)·h, где R и r — внешний и внутренний радиусы. Объём воды внутри — πr²·h с внутренним радиусом.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: тела вращения, объём цилиндра; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: цилиндр, объём цилиндра
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице