Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица
Главные формулы объёмов: куб V = a^3, параллелепипед V = abc, призма и цилиндр V = S_осн h, пирамида и конус V = 1/3S_осн h, шар V = 4/3πR^3.
Формулы объёмов тел и площадей их поверхностей
Такого тела нет в таблице. Попробуйте: куб, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар.
| Тело | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Куб | V = a^3 | a — ребро; поверхность S = 6a^2 |
| Прямоугольный параллелепипед | V = abc | a, b, c — длина, ширина, высота; поверхность S = 2(ab + bc + ac) |
| Призма | V = S_осн · h | S_осн — площадь основания, h — высота |
| Правильная шестиугольная призма | V = 3√3/2a^2 h | a — сторона основания |
| Пирамида | V = 1/3S_осн · h | правильная четырёхугольная: V = 1/3a^2 h |
| Цилиндр | V = πr^2 h | r — радиус основания, h — высота |
| Конус | V = 1/3πr^2 h | l — образующая: l^2 = r^2 + h^2 |
| Усечённый конус | V = 1/3πh(R^2 + Rr + r^2) | R, r — радиусы оснований |
| Шар | V = 4/3πR^3 = 1/6πd^3 | R — радиус, d — диаметр |
| Поверхность цилиндра | S = 2πr(r + h) | боковая S_бок = 2πrh |
| Поверхность конуса | S = πr(r + l) | боковая S_бок = πrl |
| Сфера (поверхность шара) | S = 4πR^2 = πd^2 | сечение шара — круг радиуса √(R^2 − d^2) |
Объём измеряют в кубических единицах: 1 дм^3 = 1 л, 1 м^3 = 1000 л. Площадь поверхности — в квадратных.
Как пользоваться таблицей формул объёмов?
В таблице — формулы объёмов и площадей поверхностей пространственных тел из курса стереометрии и ЕГЭ, у каждого тела рисунок. Название ведёт на страницу тела: там все способы расчёта, примеры и калькулятор с переводом в литры. Почти все объёмы строятся по двум правилам: основание на высоту и треть от этого для заострённых тел.
Скачать PDFА4, 1 лист, 271 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Как меняется объём при изменении размеров
| Что изменили | Что стало с объёмом | Почему |
|---|---|---|
| Все размеры в k раз | в k^3 раз | объёмы подобных тел относятся как k^3 |
| Ребро куба в 2 раза | в 8 раз | (2a)^3 = 8a^3 |
| Радиус цилиндра или конуса в 2 раза | в 4 раза | радиус стоит в квадрате |
| Высоту цилиндра или конуса в 2 раза | в 2 раза | высота стоит в первой степени |
| Радиус шара в 3 раза | в 27 раз | 4/3π(3R)^3 = 27 · 4/3πR^3 |
| Призма → пирамида с тем же основанием и высотой | в 3 раза меньше | V = 1/3S_осн h |
Два правила, из которых следуют почти все формулы
Тела «с постоянным сечением» — призма, параллелепипед, куб, цилиндр — имеют объём V = S_осн · h: площадь основания на высоту. Заострённые тела — пирамида и конус — занимают ровно треть такого тела: V = 1/3S_осн · h.
Шар стоит отдельно: V = 4/3πR^3. Его объём — две трети объёма описанного цилиндра, и это открыл Архимед.
Площади поверхностей тел
Площадь поверхности многогранника — сумма площадей всех граней: у куба 6a^2, у прямоугольного параллелепипеда 2(ab + bc + ac). У тел вращения поверхность считают по развёртке: боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник 2πr × h, конуса — в сектор радиуса l.
Полная поверхность — боковая плюс основания: у цилиндра два основания, у конуса одно, у шара оснований нет, S = 4πR^2.
Объём в литрах
Литр — это кубический дециметр. Чтобы получить литры, все размеры переводят в дециметры, или считают в сантиметрах и делят ответ на 1000, или в метрах и умножают на 1000.
Калькуляторы на страницах тел переводят объём в литры сами: достаточно выбрать единицы измерения.
Проверь себя
Формулы объёмов: 5 вопросов, от простых к трудным. Какая формула к какому телу и как объём меняется с размерами.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Объёмы и поверхности тел нужны в стереометрии обоих уровней ЕГЭ по математике: объём многогранника и тела вращения в базовой, задание 3 и задание 15 в профильной. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения.
- Задание 11 базовой математикиОбъём многогранника: коробки, аквариумы, вытесненная вода.
- Задание 13 базовой математикиТела вращения: цилиндр, конус, шар.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: сечения, расстояния и углы.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Дают ли формулы объёмов на ЕГЭ?
В базовой математике — да: по демоверсии 2026 года в справочных материалах есть объёмы и поверхности параллелепипеда, прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. В профильной их нет, формулы нужно помнить.
Почему у пирамиды и конуса в формуле ⅓?
Треугольную призму можно разрезать на три равновеликие пирамиды, поэтому пирамида — треть призмы с тем же основанием и высотой. Конус так же относится к цилиндру.
Как перевести объём из кубических сантиметров в литры?
Разделить на 1000: в одном литре 1000 см³. Например, 2500 см³ = 2,5 л.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: многогранники и тела вращения, их объёмы и площади поверхностей; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: объёмы тел, площади поверхностей многогранников и тел вращения
- Формулы стереометрии и планиметрии для ЕГЭ — шпаргалка НейроМиши в PDF: 87 формул геометрии с условиями применения