Площадь поверхности цилиндра: формулы и калькулятор
Площадь боковой поверхности цилиндра S_бок = 2πrh, полной — S = 2πr(r + h), где r — радиус основания, h — высота. Площадь основания πr^2.
Формулы площади поверхности цилиндра
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Полная поверхность: радиус и высота | S = 2πr(r + h) | два основания и боковая поверхность |
| Боковая поверхность: радиус и высота | S_бок = 2πrh | развёртка боковой поверхности — прямоугольник 2πr × h |
| Полная поверхность: диаметр и высота | S = πdh + (πd^2)/2 | r = d/2 |
| Осевое сечение | S_сеч = 2r · h | сечение через ось — прямоугольник d × h |
| Площадь основания | S_осн = πr^2 | основание цилиндра — круг |
| Длина окружности основания | C = 2πr | длина развёртки боковой поверхности |
| Боковая поверхность через диаметр | S_бок = πdh | то же, что 2πrh |
| Высота по боковой поверхности | h = (S_бок)/(2πr) | обратная задача |
Высота прямого цилиндра равна его образующей. Осевое сечение — прямоугольник 2r × h, а если h = 2r, это квадрат (такой цилиндр называют равносторонним).
Как найти площадь поверхности цилиндра?
Поверхность цилиндра состоит из двух кругов-оснований и боковой поверхности. Если боковую поверхность разрезать вдоль образующей и развернуть, получится прямоугольник со сторонами 2πr и h, отсюда S_бок = 2πrh. Полная поверхность — боковая плюс два основания по πr², то есть 2πr(r + h).
Скачать PDFА4, 1 лист, 281 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: площадь поверхности цилиндра
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| r = 3, h = 5, полная поверхность | S = 2π · 3 · (3 + 5) | 48π ≈ 150,8 |
| r = 4, h = 10, боковая поверхность | S_бок = 2π · 4 · 10 | 80π ≈ 251,33 |
| d = 6, h = 8, полная поверхность | S = π · 6 · 8 + (π · 36)/2 = 48π + 18π | 66π ≈ 207,35 |
| r = 2, h = 7: размеры развёртки | 2πr = 4π ≈ 12,57; S_бок = 4π · 7 | 28π ≈ 87,96 |
| r = 4, h = 9, осевое сечение | S_сеч = 2 · 4 · 9 | 72 |
| Радиус вдвое больше, высота та же | S_бок = 2π · 2r · h | в 2 раза больше |
Площадь боковой поверхности цилиндра
Если разрезать боковую поверхность вдоль образующей и развернуть на плоскость, получится прямоугольник. Одна его сторона — длина окружности основания 2πr, другая — высота h. Поэтому S_бок = 2πrh = πdh.
Этикетка консервной банки — развёртка боковой поверхности. Для банки радиусом 5 см и высотой 10 см нужна этикетка 2π · 5 ≈ 31,4 см на 10 см, площадь около 314 см^2.
Площадь полной поверхности цилиндра
К боковой поверхности добавляют два основания: S = 2πrh + 2πr^2 = 2πr(r + h). Через диаметр: S = πdh + (πd^2)/2.
Если у цилиндра одно основание (стакан, ведро без крышки), берут одно основание: S = 2πrh + πr^2. В задачах это обычно оговорено словами «без крышки» или «открытый».
Во сколько раз больше: отношения площадей
В задачах ЕГЭ часто сравнивают два цилиндра. Боковая поверхность пропорциональна произведению радиуса на высоту: (S_1)/(S_2) = (r_1 h_1)/(r_2 h_2), число 2π сокращается.
Если радиус вырос в 3 раза, а высота уменьшилась в 3 раза, боковая поверхность не изменилась. Площадь основания зависит только от радиуса и растёт как его квадрат: радиус втрое больше — основание в 9 раз больше.
Проверь себя
Поверхность цилиндра: 5 вопросов, от простых к трудным. Боковая и полная поверхность, основание, осевое сечение и отношения площадей.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 13 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится строка «Боковая поверхность»: S_{бок} = 2πrh = πdh, а число π при делении одной площади на другую сокращается.
-
Задание 1 из 2
Диаметр основания первого цилиндра равен 20, а его высота равна 6. Диаметр основания второго цилиндра равен 8, а его высота равна 10. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Радиус основания первого цилиндра в 3 раза больше радиуса основания второго, а высота первого цилиндра составляет 2/5 высоты второго. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Поверхность цилиндра нужна в стереометрии обоих уровней: в базовом — отношения площадей двух цилиндров, в профильном — площадь как часть задачи на тела вращения. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 13 базовой математикиТела вращения: во сколько раз одна боковая поверхность больше другой.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: площади поверхностей и объёмы цилиндра, конуса, шара.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: сечения цилиндра, расстояния и углы.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Чем боковая поверхность цилиндра отличается от полной?
Боковая — только «стенка»: S = 2πrh. Полная — стенка и два основания: S = 2πr(r + h). У цилиндра с r = 3 и h = 5 боковая 30π, полная 48π.
Как найти площадь поверхности цилиндра через диаметр?
Боковая поверхность S = πdh, полная S = πdh + πd²/2. При d = 8 и h = 10 полная поверхность 80π + 32π = 112π ≈ 351,9.
Что такое осевое сечение цилиндра?
Сечение плоскостью, проходящей через ось. Это прямоугольник со сторонами 2r и h, его площадь 2rh. Не путайте с боковой поверхностью 2πrh — в ней есть множитель π.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: тела вращения, площадь поверхности цилиндра; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: цилиндр, площадь боковой и полной поверхности, осевое сечение
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице