Объём шара: формулы и калькулятор
Объём шара радиуса R: V = 4/3πR^3. Через диаметр V = 1/6πd^3. Радиус по объёму R = ³√(3V/(4π)).
Формулы объёма шара
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Радиус | V = 4/3 · πR^3 | R — радиус шара |
| Диаметр | V = 1/6 · πd^3 | из V = 4/3πR^3 при R = d/2 |
| Площадь поверхности | R = √(S/(4π)); V = 4/3 · πR^3 | радиус — из S = 4πR^2 |
| Радиус по объёму | R = ³√(3V/(4π)) | обратная задача: известен объём |
| Отношение объёмов двух шаров | (V_1)/(V_2) = ((R_1)/(R_2))^3 | то же для диаметров |
| Шаровой сегмент | V = πh^2(R − h/3) | h — высота сегмента, отсечённого плоскостью |
| Шар и описанный цилиндр | V_шара = 2/3V_цил | цилиндр с радиусом R и высотой 2R |
Площадь поверхности шара S = 4πR^2; объём и площадь связаны: V = 1/3SR.
Как найти объём шара?
Объём шара равен четырём третям числа π, умноженным на куб радиуса. Через диаметр формула проще: V = πd³/6. Объём растёт как куб радиуса, поэтому шар с вдвое большим радиусом вмещает в восемь раз больше. Шар занимает ровно две трети описанного около него цилиндра.
Скачать PDFА4, 1 лист, 260 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: как найти объём шара
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| R = 3 | V = 4/3 · π · 27 | 36π ≈ 113,1 |
| d = 10 | V = 1/6 · π · 1000 | 500π/3 ≈ 523,6 |
| Площадь поверхности 64π | R = 4; V = 4/3 · π · 64 | 256π/3 ≈ 268,08 |
| Объём 288π: найти радиус | R^3 = (3 · 288)/4 = 216 | 6 |
| Мяч диаметром 22 см | V = (π · 22^3)/6 ≈ 5575 см^3 | ≈ 5,58 л |
| Радиус втрое больше | V = 4/3π(3R)^3 = 27 · 4/3πR^3 | в 27 раз больше |
Объём шара через диаметр
Подставим R = d/2: 4/3π · (d^3)/8 = (πd^3)/6. Для диаметра 10 объём 500π/3 ≈ 523,6.
Формулой через диаметр удобно пользоваться для мячей и шариков: диаметр измерить проще, чем радиус. Мяч диаметром 22 см вмещает около 5,6 литра воздуха.
Во сколько раз объём одного шара больше другого
Объём пропорционален кубу радиуса, поэтому (V_1)/(V_2) = ((R_1)/(R_2))^3 — и так же для диаметров. Шар с радиусом в 5 раз больше имеет объём в 125 раз больше.
Обратная задача: если объёмы отличаются в 8 раз, радиусы — в ³√8 = 2 раза. Площади поверхностей при этом отличаются в 4 раза.
Шар, цилиндр и конус: теорема Архимеда
Опишем около шара цилиндр: радиус основания R, высота 2R. Его объём 2πR^3, а объём шара 4/3πR^3 — ровно две трети. Архимед считал это открытие главным и завещал изобразить шар в цилиндре на своём надгробии.
Конус с тем же основанием и высотой 2R имеет объём 2/3πR^3. Объёмы конуса, шара и цилиндра относятся как 1 : 2 : 3.
Проверь себя
Объём шара: 5 вопросов, от простых к трудным. Радиус и диаметр, куб радиуса, вписанный шар и описанный цилиндр.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 13 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится правило из таблицы: объёмы шаров относятся как кубы радиусов (или диаметров), число frac{4}{3}π сокращается.
-
Задание 1 из 2
Диаметры двух шаров равны 6 и 18. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Радиус первого шара в 4 раза больше радиуса второго. Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго?
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Объём шара спрашивают в задании 3 профильной математики и в задании на тела вращения базового уровня — чаще всего «во сколько раз». Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 13 базовой математикиТела вращения: во сколько раз объём одного шара больше объёма другого.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: шар, вписанный в куб или цилиндр, объёмы и отношения.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: сечения шара, касание плоскостей.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как найти объём шара, если известен диаметр?
По формуле V = πd³/6. Для диаметра 6 объём 36π ≈ 113,1. Можно и через радиус: R = 3, V = 4/3 · π · 27.
Как найти радиус шара по объёму?
R = ∛(3V/(4π)). Если V = 288π, то R³ = 216 и R = 6.
Чем объём шара отличается от площади сферы?
Объём V = 4/3·πR³ — сколько места внутри шара, в кубических единицах. Площадь сферы S = 4πR² — площадь его поверхности, в квадратных. Они связаны: V = S·R/3.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: шар и сфера, объём шара; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: объём шара и его частей, площадь сферы
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице