Объём конуса: формулы и калькулятор

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1/3πr^2 h. Через образующую l высота h = √(l^2 − r^2), объём усечённого конуса V = 1/3πh(R^2 + Rr + r^2).

Калькулятор объёма конуса

V = 1/3 · πr^2 · h

lhrd

V = 15π ≈ 47,12 см³

  1. V = ⅓ · πr² · h = ⅓ · π · 3² · 5 = 15π ≈ 47,12
  • В литрах: ≈ 0,04712 л

Формулы объёма конуса

Формулы объёма конуса и усечённого конуса: что известно, формула и обозначения
Что известноФормулаОбозначения
Радиус и высота V = 1/3 · πr^2 · hтреть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой
Диаметр и высота V = 1/12 · πd^2 · hr = d/2
Радиус и образующая V = 1/3 · πr^2 · √(l^2 − r^2)высота — по теореме Пифагора
Площадь основания и высота V = 1/3 · S_осн · hкак у пирамиды
Усечённый конус V = 1/3 · πh · (R^2 + Rr + r^2)R и r — радиусы оснований, h — расстояние между ними
Высота по объёмуh = 3V/(πr^2)обратная задача
Радиус по объёмуr = √(3V/(πh))обратная задача
Подобные конусы(V_1)/(V_2) = k^3плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному
lhrd
Конус
rRh
Усечённый конус

h — высота (перпендикуляр из вершины в центр основания), l — образующая, r — радиус основания; l^2 = r^2 + h^2.

Формулы объёма конуса с рисунками: через радиус и высоту, диаметр, образующую, объём усечённого конуса
Формулы объёма конуса с рисунками: через радиус и высоту, диаметр, образующую, объём усечённого конуса — neuromisha.ruСохранить картинку

Как найти объём конуса?

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓πr²h. Конус занимает ровно треть цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Если вместо высоты дана образующая, высоту находят по теореме Пифагора: h = √(l² − r²). Для усечённого конуса есть своя формула с радиусами обоих оснований.

Скачать PDFА4, 1 лист, 270 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика

Примеры: как найти объём конуса

Разобранные задачи на объём конуса: условие, решение и ответ
Что даноРешениеОтвет
r = 3, h = 5V = 1/3 · π · 9 · 515π ≈ 47,12
d = 10, h = 6r = 5; V = 1/3 · π · 25 · 650π ≈ 157,08
r = 5, образующая 13h = √(169 − 25) = 12; V = 1/3 · π · 25 · 12100π ≈ 314,16
Площадь основания 30, h = 7V = 1/3 · 30 · 770
Усечённый: R = 5, r = 2, h = 6V = 1/3 · π · 6 · (25 + 10 + 4)78π ≈ 245,04
Воронка: диаметр 12 см, глубина 10 смV = 1/3 · π · 36 · 10 = 120π≈ 377 см^3

Почему объём конуса — треть цилиндра

Конус можно представить как пирамиду с очень большим числом граней: её основание почти совпадает с кругом. У пирамиды V = 1/3S_осн · h, поэтому и у конуса V = 1/3πr^2 h.

Опыт с водой: конусом, наполненным до краёв, цилиндр той же высоты и с тем же основанием заполняют ровно за три раза.

Объём конуса через образующую и диаметр

Образующая l, радиус r и высота h образуют прямоугольный треугольник, поэтому h = √(l^2 − r^2). При r = 5 и l = 13 высота 12, объём 100π.

Если дан диаметр, радиус — его половина, а формула принимает вид V = 1/12πd^2 h. Воронка диаметром 12 см и глубиной 10 см вмещает около 377 см^3.

Объём усечённого конуса

Усечённый конус остаётся, если от конуса отрезать вершину плоскостью, параллельной основанию. Его объём V = 1/3πh(R^2 + Rr + r^2), где R и r — радиусы оснований, h — расстояние между ними.

Проверка: при r = 0 формула даёт обычный конус 1/3πR^2 h, а при r = R — цилиндр πR^2 h. Ведро с радиусами дна 10 и верха 15 см и высотой 30 см вмещает 1/3π · 30 · 475 ≈ 14,9 л.

Проверь себя

Объём конуса: 5 вопросов, от простых к трудным. Треть цилиндра, высота по образующей, подобные конусы, усечённый конус.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 3 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Радиус и высота»: V = frac{1}{3}πr^{2}h, в ответ через π идёт множитель frac{r^{2}h}{3}.

  1. Задание 3 ЕГЭ

    Конус имеет радиус основания 6 и высоту 4. Найдите объём конуса. Ответ выразите через число π и укажите числовой множитель.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Объём конуса спрашивают в задании 3 профильной математики, а подобные конусы, отсечённые плоскостью, — в задании на тела вращения базового уровня. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Чем высота конуса отличается от образующей?

Высота — перпендикуляр из вершины в центр основания, образующая — отрезок от вершины до окружности основания. Образующая длиннее: l² = r² + h². В формулу объёма входит высота.

Как изменится объём конуса, если радиус увеличить вдвое?

Увеличится в 4 раза, потому что радиус стоит в квадрате. Если вдвое увеличить высоту, объём вырастет только в 2 раза.

Как найти объём усечённого конуса?

По формуле V = ⅓πh(R² + Rr + r²). Для R = 5, r = 2 и h = 6 объём 78π ≈ 245. Можно и как разность двух полных конусов.

Источники

  • ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: тела вращения, объём конуса; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: конус и усечённый конус, их объёмы
  • Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела