Объём пирамиды: формулы и калькулятор

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1/3S_осн · h. У правильной четырёхугольной пирамиды V = 1/3a^2 h, у правильной треугольной V = (a^2 h√3)/12.

Калькулятор объёма пирамиды

V = 1/3 · S_осн · h

ablh

V = 60 см³

  1. V = ⅓ · Sосн · h = ⅓ · 36 · 5 = 60
  • В литрах: 0,06 л

Формулы объёма пирамиды

Формулы объёма пирамиды: что известно, формула и обозначения
Что известноФормулаОбозначения
Площадь основания и высота V = 1/3 · S_осн · hдля любой пирамиды; h — перпендикуляр из вершины на основание
Правильная четырёхугольная: сторона основания и высота V = 1/3 · a^2 · hв основании квадрат со стороной a
Правильная треугольная: сторона основания и высота V = 1/3 · (a^2√3)/4 · h = (a^2 h√3)/12в основании правильный треугольник
Правильная шестиугольная: сторона основания и высота V = 1/3 · 3√3/2a^2 · h = √3/2 · a^2 hоснование — шесть правильных треугольников
Прямоугольное основание: стороны и высота V = 1/3 · a · b · ha и b — стороны основания
Правильная четырёхугольная: сторона основания и боковое ребро V = 1/3 · a^2 · √(l^2 − (a^2)/2)высота из прямоугольного треугольника: ребро, высота и половина диагонали основания
Высота по объёмуh = 3V/(S_осн)обратная задача
Высота правильной пирамидыh = √(l^2 − R^2)R — радиус окружности, описанной около основания: у квадрата R = a√2/2, у правильного треугольника R = a√3/3
Усечённая пирамидаV = 1/3h(S_1 + √(S_1 S_2) + S_2)S_1, S_2 — площади оснований, h — расстояние между ними
ablh
Четырёхугольная пирамида
ah
Треугольная пирамида

Пирамида занимает ровно треть призмы с тем же основанием и той же высотой: три равновеликие треугольные пирамиды складываются в треугольную призму.

Формулы объёма пирамиды с рисунками: через площадь основания и высоту, правильная треугольная, четырёхугольная и шестиугольная пирамида
Формулы объёма пирамиды с рисунками: через площадь основания и высоту, правильная треугольная, четырёхугольная и шестиугольная пирамида — neuromisha.ruСохранить картинку

Как найти объём пирамиды?

Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту. Высота — перпендикуляр из вершины на плоскость основания, а не боковое ребро. Для правильной пирамиды сначала считают площадь правильного многоугольника в основании. Если высоты нет, её находят из прямоугольного треугольника с боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности.

Скачать PDFА4, 2 листа, 254 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика

Примеры: как найти объём пирамиды

Разобранные задачи на объём пирамиды: условие, решение и ответ
Что даноРешениеОтвет
Площадь основания 36, высота 10V = 1/3 · 36 · 10120
Правильная четырёхугольная: a = 6, h = 9V = 1/3 · 36 · 9108
Правильная треугольная: a = 6, h = 10S_осн = 9√3; V = 1/3 · 9√3 · 1030√3 ≈ 51,96
Основание — прямоугольник 4 × 5, h = 6V = 1/3 · 20 · 640
Правильная четырёхугольная: a = 8, боковое ребро 9h = √(81 − 32) = 7; V = 1/3 · 64 · 7≈ 149,33
Правильная шестиугольная: a = 2, h = 5S_осн = 6√3; V = 1/3 · 6√3 · 510√3 ≈ 17,32

Объём правильной пирамиды

В основании правильной пирамиды — правильный многоугольник, а высота падает в его центр. Площадь основания: квадрат a^2, правильный треугольник (a^2√3)/4, правильный шестиугольник 3√3/2a^2. Её умножают на высоту и делят на 3.

Правильная четырёхугольная пирамида со стороной 6 и высотой 9 имеет объём 1/3 · 36 · 9 = 108. Правильная треугольная с теми же числами — 27√3 ≈ 46,77: основание у неё меньше.

Объём пирамиды через боковое ребро

У правильной пирамиды боковое ребро l, высота h и радиус R описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник: h = √(l^2 − R^2). Для квадратного основания R — половина диагонали, a√2/2.

Пример: сторона основания 8, боковое ребро 9. R^2 = 32, высота √(81 − 32) = 7, объём 1/3 · 64 · 7 ≈ 149,33. Этот способ стоит в калькуляторе отдельной строкой.

Почему в формуле одна треть

Треугольную призму можно разрезать на три треугольные пирамиды с равными объёмами. Поэтому объём пирамиды — треть объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Любую пирамиду можно разбить на треугольные, и множитель 1/3 сохраняется.

То же верно для конуса и цилиндра: объём конуса — треть объёма цилиндра.

Проверь себя

Объём пирамиды: 5 вопросов, от простых к трудным. Треть от призмы, основание-квадрат и треугольник, высота по боковому ребру.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 3 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Правильная треугольная»: сначала площадь основания a^{2}√{3}/4, потом треть её произведения на высоту. Округлите ответ, как просят в условии.

  1. Задание 3 ЕГЭ

    В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, высота пирамиды 4. Найдите объём пирамиды. Ответ округлите до целого числа.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Объём пирамиды спрашивают в задании 3 профильной математики и в задачах на многогранники базового уровня. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Что такое высота пирамиды?

Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Боковое ребро и апофема (высота боковой грани) длиннее высоты, подставлять их в V = ⅓·S·h нельзя.

Как найти объём правильной треугольной пирамиды?

Площадь основания a²√3/4 умножить на высоту и разделить на 3: V = a²h√3/12. При a = 6 и h = 10 объём 30√3 ≈ 51,96.

Чем объём пирамиды отличается от объёма призмы?

При одинаковых основании и высоте пирамида втрое меньше: V = ⅓·S·h против V = S·h у призмы.

Источники

  • ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: пирамида, объём многогранника; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: пирамида, правильная пирамида, объём пирамиды и усечённой пирамиды
  • Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела