Площадь поверхности конуса: формулы и калькулятор
Площадь боковой поверхности конуса S_бок = πrl, полной — S = πr(r + l), где r — радиус основания, l — образующая. Если известна высота h, то l = √(r^2 + h^2).
Формулы площади поверхности конуса
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Боковая поверхность: радиус и образующая | S_бок = πrl | l — образующая: от вершины до окружности основания |
| Полная поверхность: радиус и образующая | S = πr(r + l) | основание плюс боковая поверхность |
| Полная поверхность: радиус и высота | S = πr(r + √(r^2 + h^2)) | образующая — по теореме Пифагора |
| Осевое сечение | S_сеч = r · h | сечение через ось — равнобедренный треугольник с основанием 2r |
| Площадь основания | S_осн = πr^2 | основание конуса — круг |
| Образующая | l = √(r^2 + h^2) | из прямоугольного треугольника: высота, радиус и образующая |
| Угол развёртки | α = (360° · r)/l | центральный угол сектора, в который разворачивается боковая поверхность |
| Образующая по боковой поверхности | l = (S_бок)/(πr) | обратная задача |
Образующая l — отрезок от вершины до окружности основания, высота h — перпендикуляр из вершины к основанию. Образующая всегда длиннее высоты и радиуса.
Как найти площадь поверхности конуса?
Поверхность конуса — это круг основания и боковая поверхность. Развёртка боковой поверхности — сектор круга, радиус которого равен образующей l, а длина дуги — длине окружности основания 2πr. Площадь такого сектора πrl. Полная поверхность — боковая плюс основание: πr(r + l). Если дана высота, образующую находят по теореме Пифагора.
Скачать PDFА4, 1 лист, 263 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: площадь поверхности конуса
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| r = 3, l = 5, боковая | S_бок = π · 3 · 5 | 15π ≈ 47,12 |
| r = 3, l = 5, полная | S = π · 3 · (3 + 5) | 24π ≈ 75,4 |
| r = 6, h = 8, полная | l = √(36 + 64) = 10; S = π · 6 · 16 | 96π ≈ 301,59 |
| d = 10, l = 13, боковая | r = 5; S_бок = π · 5 · 13 | 65π ≈ 204,2 |
| r = 6, h = 8, осевое сечение | S_сеч = 6 · 8 | 48 |
| r = 3, l = 5: угол развёртки | α = (360° · 3)/5 | 216° |
Откуда формула боковой поверхности конуса
Разрежем боковую поверхность по образующей и развернём. Получится сектор круга радиуса l, а длина его дуги — длина окружности основания 2πr. Площадь сектора — половина произведения дуги на радиус: 1/2 · 2πr · l = πrl.
Угол этого сектора α = (360° · r)/l. У конуса с r = 3 и l = 5 развёртка — сектор 216°, у конуса с r = 3 и l = 6 — полукруг.
Площадь полной поверхности конуса
К боковой поверхности прибавляют круг основания: S = πrl + πr^2 = πr(r + l). Если в условии дана высота, сначала находят образующую l = √(r^2 + h^2): при r = 6 и h = 8 она равна 10, полная поверхность 96π.
Площадь осевого сечения — не поверхность, а треугольник с основанием 2r и высотой h: S_сеч = rh. Её спрашивают отдельно.
Конус и цилиндр с одинаковыми размерами
У цилиндра и конуса с общими радиусом и высотой основания одинаковые, а боковые поверхности разные: у цилиндра 2πrh, у конуса πrl. При r = 3 и h = 4 это 24π и 15π.
Объём конуса ровно втрое меньше объёма такого цилиндра — об этом на странице объём конуса.
Проверь себя
Поверхность конуса: 5 вопросов, от простых к трудным. Развёртка, образующая, боковая и полная поверхность.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Площадь поверхности конуса встречается в задании 3 профильной математики и в заданиях базовой математики на тела вращения. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: площадь боковой поверхности конуса, образующая по радиусу и высоте.
- Задание 13 базовой математикиТела вращения: конус, цилиндр, шар — площади и объёмы.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: сечения конуса, углы и расстояния.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Что такое образующая конуса?
Отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания. Все образующие равны. Образующая, высота и радиус основания составляют прямоугольный треугольник: l² = r² + h².
Как найти площадь боковой поверхности конуса через высоту?
Сначала образующая l = √(r² + h²), потом S = πrl. При r = 5 и h = 12 образующая 13, площадь боковой поверхности 65π ≈ 204,2.
Почему развёртка конуса — сектор, а не треугольник?
Все точки окружности основания находятся на одном расстоянии l от вершины. На плоскости такие точки лежат на дуге окружности радиуса l, поэтому развёртка — сектор круга.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: тела вращения, площадь поверхности конуса; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: конус, площадь боковой и полной поверхности, развёртка
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице