Задание 15 ЕГЭ по профильной математике: Стереометрия с доказательством

Развёрнутая стереометрия из двух пунктов: сначала доказать геометрический факт о сечении, прямой или плоскости, затем вычислить расстояние, угол или объём. Доказательство и вычисление оцениваются отдельно, а правильно построенное сечение фактически задаёт всё дальнейшее решение.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложностиповышенный
Максимальный балл3 балла
Форма ответаразвёрнутое решение: доказательство и вычисление
Сколько минут закладывать20 минут
Коды кодификатора
  • 7.2 Прямые и плоскости в пространстве
  • 7.3 Многогранники
  • 7.4 Тела и поверхности вращения

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

  1. Постройте крупный чертёж и вынесите ключевое сечение отдельным плоским рисунком.
  2. Введите обозначения точек и подпишите все известные длины.
  3. Докажите пункт а ссылками на признаки параллельности и перпендикулярности.
  4. Для пункта б выберите метод: плоский треугольник, сравнение объёмов или координаты.
  5. Доведите вычисление до числа и запишите ответ отдельной строкой.

Типичные ошибки

  • Строят сечение по двум точкам, не обосновав, что оно проходит именно так.
  • Принимают за угол между прямой и плоскостью угол с перпендикуляром к ней.
  • Ограничиваются вычислением и оставляют пункт а без доказательства.
Совет на экзамене

Координатный метод выручает, когда фигура прямоугольная: он длиннее, но не требует догадки и почти не даёт потерь.

Теория по заданию 15

Прямые и плоскости в пространствеКонспект с разбором МногогранникиКонспект с разбором Тела и поверхности вращенияКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найди угол между скрещивающимися прямыми AB₁ и BC₁ — обе они диагонали граней куба.
Прямые AB1AB_1 и BC1BC_1 не лежат в одной плоскости — они скрещиваются. Значит, одну из них нужно параллельно перенести к другой, чтобы получить пересекающиеся прямые. Заметь, что BC1BC_1 параллельно и равно AD1AD_1: рёбра ADAD и BCBC параллельны и равны как противоположные стороны квадрата ABCDABCD, а рёбра DD1DD_1 и CC1CC_1 параллельны и равны. Поэтому угол между AB1AB_1 и BC1BC_1 равен углу между пересекающимися прямыми AB1AB_1 и AD1AD_1, то есть углу ∠B1AD1\angle B_1AD_1. Теперь всё в одном треугольнике AB1D1AB_1D_1. Каждая его сторона — диагональ грани куба, а диагональ квадрата со стороной aa равна a2a\sqrt2: AB1=AD1=B1D1=a2AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt{2} Все три стороны равны — треугольник равносторонний, а в нём каждый угол равен 60°. Значит, искомый угол: ∠B1AD1=60∘\angle B_1AD_1 = 60^\circ Обрати внимание: ребро aa в ответ не вошло вовсе. Угол между прямыми не зависит от размера куба — масштаб углы не меняет, это стоит держать в голове как проверку. Ответ: 60°.

Разбор из темы «Прямые и плоскости в пространстве» в разделе теории.

Коротко

Вопросы про задание 15

Сколько баллов даёт задание 15 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 15 можно получить максимум 3 балла из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — развёрнутое решение: доказательство и вычисление.

Какой уровень сложности у задания 15 по профильной математике?

Задание 15 относится к заданиям повышенного уровня сложности; таких в работе 11 из 20.

Сколько времени тратить на задание 15?

Закладывайте около 20 минут: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 15?

По кодификатору ФИПИ задание 15 опирается на разделы: Прямые и плоскости в пространстве; Многогранники; Тела и поверхности вращения.