Объём призмы: формулы и калькулятор
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн · h. У правильной треугольной призмы V = (a^2√3)/4 · h, у правильной четырёхугольной V = a^2 h.
Формулы объёма призмы
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Площадь основания и высота | V = S_осн · h | для любой призмы, прямой и наклонной |
| Правильная треугольная | V = (a^2√3)/4 · h | в основании правильный треугольник со стороной a |
| Правильная четырёхугольная | V = a^2 · h | в основании квадрат |
| Правильная шестиугольная | V = 3√3/2 · a^2 · h | основание — шесть правильных треугольников |
| В основании прямоугольный треугольник | V = 1/2 · a · b · h | a и b — катеты основания |
| Треугольная: три стороны основания и высота | V = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) · h | площадь основания — по формуле Герона |
| Наклонная призма | V = S_осн · l · sin φ | l — боковое ребро, φ — его угол с плоскостью основания |
| Через перпендикулярное сечение | V = S_(⊥) · l | S_(⊥) — площадь сечения, перпендикулярного боковым рёбрам |
| Высота по объёму | h = V/(S_осн) | обратная задача |
Прямоугольный параллелепипед и куб — тоже призмы: у них в основании прямоугольник или квадрат. Цилиндр считают по той же формуле V = S_осн · h.
Как найти объём призмы?
Объём любой призмы равен площади основания, умноженной на высоту. Для прямой призмы высота совпадает с боковым ребром, для наклонной — это перпендикуляр между основаниями, он короче ребра. Поэтому главное в задаче — найти площадь основания: правильного треугольника, квадрата, шестиугольника или треугольника по трём сторонам.
Скачать PDFА4, 1 лист, 307 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: как найти объём призмы
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| Площадь основания 15, высота 8 | V = 15 · 8 | 120 |
| Правильная треугольная: a = 6, h = 10 | S_осн = 9√3; V = 9√3 · 10 | 90√3 ≈ 155,88 |
| Правильная четырёхугольная: a = 3, h = 7 | V = 3^2 · 7 | 63 |
| Правильная шестиугольная: a = 2, h = 10 | S_осн = 6√3; V = 6√3 · 10 | 60√3 ≈ 103,92 |
| Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, h = 5 | S_осн = 24; V = 24 · 5 | 120 |
| Основание — треугольник 5, 5, 6, h = 10 | p = 8; S_осн = √(8 · 3 · 3 · 2) = 12; V = 12 · 10 | 120 |
Объём правильной призмы
Правильная призма — прямая, в основании правильный многоугольник. Её объём — площадь этого многоугольника на высоту: треугольная (a^2√3)/4 · h, четырёхугольная a^2 h, шестиугольная 3√3/2a^2 h.
У правильной треугольной призмы со стороной 6 и высотой 10 объём 90√3 ≈ 155,88. Площади оснований — на страницах площадь треугольника и площадь многоугольника.
Объём наклонной призмы
У наклонной призмы боковое ребро l не перпендикулярно основанию, и высота h = l · sin φ, где φ — угол ребра с плоскостью основания. Объём V = S_осн · l · sin φ.
Другой способ — через перпендикулярное сечение: V = S_(⊥) · l. Площадь сечения, перпендикулярного рёбрам, умножают на длину ребра.
Треугольная призма: основание по трём сторонам
Если в основании треугольник с известными сторонами, площадь находят по формуле Герона. Для сторон 13, 14, 15 полупериметр 21 и площадь 84, при высоте 10 объём призмы 840.
Если основание — прямоугольный треугольник, площадь равна половине произведения катетов: катеты 3 и 4, высота 10 — объём 60.
Проверь себя
Объём призмы: 5 вопросов, от простых к трудным. Площадь основания на высоту: правильные призмы, прямая и наклонная.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 3 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Правильная четырёхугольная»: в основании квадрат, его площадь a^{2}, а у прямой призмы высота равна боковому ребру.
-
Задание 3 ЕГЭ
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 9. Найдите объём призмы.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Объём призмы спрашивают в задании 3 профильной математики и в задачах на многогранники базового уровня, в том числе про вытесненную воду. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: объём правильной призмы, изменение объёма.
- Задание 11 базовой математикиОбъём многогранника: сосуды-призмы, уровень воды после погружения детали.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: сечения призмы, расстояния и углы.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как найти объём треугольной призмы?
Найти площадь треугольника в основании и умножить на высоту призмы. Для правильной треугольной призмы это a²√3/4 · h, для произвольной — площадь по Герону или по основанию и высоте треугольника.
Чем высота призмы отличается от бокового ребра?
У прямой призмы ничем: ребро перпендикулярно основанию. У наклонной высота — перпендикуляр между основаниями, она равна l · sin φ и короче ребра.
Как найти объём вытесненной воды в сосуде-призме?
Умножить площадь дна на то, насколько поднялся уровень. Если дно 20 × 10 см и уровень поднялся на 3 см, объём погружённого тела 600 см³.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: призма, объём многогранника; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: прямая и наклонная призма, объём призмы
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице