Площадь сферы (поверхности шара): формулы и калькулятор
Площадь сферы (поверхности шара) радиуса R: S = 4πR^2. Через диаметр S = πd^2. Площадь сечения шара на расстоянии d от центра S = π(R^2 − d^2).
Формулы площади сферы
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Радиус | S = 4πR^2 | площадь сферы равна четырём площадям её большого круга |
| Диаметр | S = πd^2 | из S = 4πR² при R = d/2 |
| Объём шара | R = ³√(3V/(4π)); S = 4πR^2 | сначала радиус из формулы объёма |
| Сечение шара: радиус и расстояние от центра | S_сеч = π(R^2 − d^2) | d — расстояние от центра до плоскости сечения |
| Площадь большого круга | S_кр = πR^2 | сечение через центр; площадь сферы в 4 раза больше |
| Радиус по площади сферы | R = √(S/(4π)) | обратная задача |
| Радиус сечения | ρ = √(R^2 − d^2) | d — расстояние от центра шара до плоскости сечения |
Сфера — поверхность, шар — тело, ограниченное сферой. У сферы есть площадь, у шара — объём; «площадь поверхности шара» — это площадь сферы.
Как найти площадь сферы?
Площадь сферы равна учетверённой площади её большого круга: S = 4πR². Сфера — это поверхность шара, поэтому «площадь сферы» и «площадь поверхности шара» — одна и та же величина. Через диаметр формула короче: S = πd². Площадь растёт как квадрат радиуса: радиус вдвое больше — площадь вчетверо.
Скачать PDFА4, 1 лист, 281 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: площадь сферы и сечения шара
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| R = 5 | S = 4π · 25 | 100π ≈ 314,16 |
| d = 12 | S = π · 144 | 144π ≈ 452,39 |
| R = 0,5 м | S = 4π · 0,25 | π ≈ 3,14 м^2 |
| Объём шара 288π | R^3 = (3 · 288π)/(4π) = 216; R = 6; S = 4π · 36 | 144π |
| Сечение: R = 10, расстояние 6 | ρ^2 = 100 − 36 = 64; S_сеч = 64π | 64π ≈ 201,06 |
| Радиус втрое больше | S = 4π(3R)^2 = 9 · 4πR^2 | в 9 раз больше |
Площадь поверхности шара через радиус и диаметр
Площадь сферы в четыре раза больше площади её большого круга πR^2: S = 4πR^2. Через диаметр d = 2R формула становится S = πd^2. Мяч диаметром 22 см имеет поверхность около 1520 см^2.
Архимед сравнивал шар с описанным цилиндром: площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра той же высоты 2R, то есть 2πR · 2R = 4πR^2.
Площадь сечения шара
Любое сечение шара плоскостью — круг. Его радиус ρ находят из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и катетом d — расстоянием от центра до плоскости: ρ = √(R^2 − d^2), площадь сечения π(R^2 − d^2).
Наибольшее сечение проходит через центр (d = 0) — это большой круг с площадью πR^2. Для R = 10 и d = 6 радиус сечения 8, площадь 64π.
Площадь сферы и объём шара
Если известен объём шара V = 4/3πR^3, сначала находят радиус R = ³√(3V/(4π)), затем площадь. Для V = 288π радиус 6, площадь 144π.
При увеличении радиуса в k раз площадь растёт в k^2 раз, а объём — в k^3. Поэтому у крупного шара на единицу объёма приходится меньше поверхности, чем у мелкого.
Проверь себя
Площадь сферы: 5 вопросов, от простых к трудным. Радиус, диаметр, большой круг, сечение и изменение радиуса.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 3 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Радиус»: S = 4πR^{2}, а в ответ через π идёт множитель 4R^{2}.
-
Задание 3 ЕГЭ
Шар имеет радиус 3. Найдите площадь поверхности шара. Ответ выразите через число π и укажите числовой множитель.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Площадь сферы спрашивают в задании 3 профильной математики и в заданиях на тела вращения базового уровня — часто с ответом через π или «во сколько раз». Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: площадь поверхности шара, вписанный и описанный шар.
- Задание 13 базовой математикиТела вращения: во сколько раз изменится площадь или объём шара.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: сечения шара плоскостью.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Площадь сферы и площадь поверхности шара — это одно и то же?
Да. Сфера — поверхность, которая ограничивает шар. У шара как тела считают объём, а его поверхность — это сфера, её площадь 4πR².
Как найти площадь сферы, если известен диаметр?
По формуле S = πd². При диаметре 10 площадь 100π ≈ 314,16. Можно и через радиус: R = 5, 4π · 25 = 100π.
Во сколько раз изменится площадь сферы, если радиус увеличить вдвое?
В четыре раза: площадь пропорциональна квадрату радиуса. Объём шара при этом вырастет в восемь раз.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: шар и сфера, площадь сферы; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: сфера и шар, площадь сферы, сечение шара плоскостью
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице