Площадь параллелограмма: формулы и калькулятор

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту к ней: S = a · h. Через две стороны и угол S = ab · sin α, через диагонали S = 1/2d_1 d_2 · sin φ.

Формулы площади параллелограмма

Формулы площади параллелограмма: что известно, формула и обозначения
Что известноФормулаОбозначения
Сторона и высота к ней S = a · hh — высота, опущенная на сторону a
Две стороны и угол между ними S = a · b · sin αα — любой из углов: синусы соседних углов равны
Диагонали и угол между ними S = 1/2 · d_1 · d_2 · sin φφ — угол между диагоналями
Высота по площадиh_a = S/aвысота к стороне a; к другой стороне — h_b = S/b
Сумма квадратов диагоналейd_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)помогает найти вторую диагональ по сторонам
ПериметрP = 2(a + b)противоположные стороны равны
αabh
Параллелограмм
φabd₁d₂
Диагонали параллелограмма

Синусы соседних углов параллелограмма равны: sin(180° − α) = sin α. Поэтому в S = ab · sin α можно брать и острый, и тупой угол. Параллелограмм — постоянная фигура задания 1 профильной математики.

Калькулятор площади параллелограмма

S = a · h

αabh

S = 60 см²

  1. S = a · h = 10 · 6 = 60
Формулы площади параллелограмма с рисунками: через сторону и высоту, две стороны и угол, диагонали и угол между ними
Формулы площади параллелограмма с рисунками: через сторону и высоту, две стороны и угол, диагонали и угол между ними — neuromisha.ruСохранить картинку

Как найти площадь параллелограмма?

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Если высоты нет, но известен угол, её заменяют произведением второй стороны на синус угла: S = ab · sin α. Через диагонали площадь — половина их произведения на синус угла между ними. Все три формулы дают один ответ.

Скачать PDFА4, 1 лист, 288 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика

Примеры: как найти площадь параллелограмма

Разобранные задачи на площадь параллелограмма: условие, решение и ответ
Что даноРешениеОтвет
Сторона 12, высота к ней 5S = 12 · 560
Стороны 10 и 6, угол 30°S = 10 · 6 · 1/230
Стороны 8 и 5, угол 150°S = 8 · 5 · sin 150° = 40 · 1/220
Стороны 4 и 7, угол 45°S = 4 · 7 · √2/214√2 ≈ 19,8
Диагонали 10 и 16, угол между ними 30°S = 1/2 · 10 · 16 · 1/240
Площадь 48, сторона 12: найти высоту к нейh = 48/124

Почему площадь параллелограмма — сторона на высоту

Если отрезать от параллелограмма прямоугольный треугольник по высоте и приложить его к другой стороне, получится прямоугольник с тем же основанием a и высотой h. Площадь от перекладывания не меняется, поэтому S = a · h.

Высота из прямоугольного треугольника со стороной b и углом α равна h = b · sin α. Подставив её, получают вторую формулу: S = ab · sin α.

Как найти высоту параллелограмма

У параллелограмма две высоты — к каждой паре параллельных сторон. Обе находят из площади: h_a = S/a, h_b = S/b. К короткой стороне высота длиннее.

Пример: стороны 6 и 10, площадь 30. Высота к стороне 6 равна 5, к стороне 10 — 3. Если площади нет, высоту считают через угол: h_a = b · sin α.

Площадь параллелограмма через диагонали

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника равной площади. Площадь каждого — 1/2 · (d_1)/2 · (d_2)/2 · sin φ, вместе S = 1/2d_1 d_2 · sin φ.

У ромба и квадрата диагонали перпендикулярны, sin 90° = 1, и формула упрощается до S = (d_1 d_2)/2 — её используют на странице площадь ромба.

Проверь себя

Площадь параллелограмма: 5 вопросов, от простых к трудным. Сторона и высота, синус угла, диагонали и обратная задача — высота по площади.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 1 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Сторона и высота к ней»: высота должна быть проведена именно к той стороне, на которую умножаете.

  1. Задание 1 ЕГЭ

    В параллелограмме ABCD сторона AB = 10, высота, проведённая к стороне AB, равна 7. Найдите площадь параллелограмма.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Параллелограмм — постоянная фигура задания 1 профильной математики, а его частные случаи — прямоугольник, ромб и квадрат — встречаются и в базовой. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Какую высоту брать для площади параллелограмма?

Любую, но в паре со своей стороной: S = a · hₐ = b · h_b. Высота hₐ опущена на сторону a или её продолжение.

Можно ли найти площадь параллелограмма по двум сторонам?

Нет, нужен ещё угол или высота. Параллелограмм со сторонами 6 и 10 можно «сложить» почти до отрезка, и площадь будет стремиться к нулю, а наибольшая — 60 — у прямоугольника.

Чем площадь параллелограмма отличается от площади треугольника?

Треугольник с тем же основанием и той же высотой — ровно половина параллелограмма: его отсекает диагональ. Поэтому у треугольника в формуле стоит ½, а у параллелограмма нет.

Источники

  • ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: параллелограмм, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: площадь параллелограмма, синус угла, свойства диагоналей
  • Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела