Формулы площадей всех фигур: таблица с рисунками
Главные формулы площадей: треугольник S = 1/2ah, прямоугольник S = ab, квадрат S = a^2, параллелограмм S = ah, ромб S = (d_1 d_2)/2, трапеция S = (a + b)/2h, круг S = πr^2.
Формулы площадей плоских фигур
Такой фигуры нет в таблице. Попробуйте: треугольник, квадрат, трапеция, круг.
| Фигура | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Треугольник | S = 1/2ah; S = 1/2ab · sin γ | h — высота к стороне a, γ — угол между a и b |
| Треугольник по трём сторонам | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) | формула Герона, p — полупериметр |
| Прямоугольный треугольник | S = 1/2ab | a и b — катеты |
| Равносторонний треугольник | S = (a^2√3)/4 | a — сторона |
| Прямоугольник | S = a · b | a и b — соседние стороны |
| Квадрат | S = a^2 = (d^2)/2 | a — сторона, d — диагональ |
| Параллелограмм | S = a · h = ab · sin α | h — высота к стороне a |
| Ромб | S = (d_1 d_2)/2 = a^2 · sin α | d_1, d_2 — диагонали |
| Трапеция | S = (a + b)/2 · h = m · h | a, b — основания, m — средняя линия |
| Любой выпуклый четырёхугольник | S = 1/2d_1 d_2 · sin φ | φ — угол между диагоналями |
| Круг | S = πr^2 = (πd^2)/4 | r — радиус, d — диаметр |
| Кольцо | S = π(R^2 − r^2) | R, r — внешний и внутренний радиусы |
| Сектор круга | S = (πr^2 · α)/(360°) = 1/2lr | α — центральный угол, l — длина дуги |
| Правильный шестиугольник | S = 3√3/2a^2 | a — сторона |
| Правильный n-угольник | S = (na^2)/(4 · tg(180°/n)) | n — число сторон, a — сторона |
| Многоугольник на клетках | S = В + Г/2 − 1 | формула Пика: узлы внутри и на границе |
Для любого многоугольника, в который вписана окружность радиуса r, S = 1/2Pr, где P — периметр.
Как пользоваться таблицей формул площадей?
В таблице — главные формулы площадей плоских фигур из школьного курса и ЕГЭ, у каждой фигуры рисунок с обозначениями. Название фигуры ведёт на её страницу: там все способы расчёта, разобранные примеры и калькулятор с ходом решения. Площадь всегда измеряют в квадратных единицах — см², м², клетках.
Скачать PDFА4, 1 лист, 219 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Как меняется площадь при изменении размеров
| Что изменили | Что стало с площадью | Почему |
|---|---|---|
| Все размеры в k раз | в k^2 раз | площади подобных фигур относятся как k^2 |
| Сторону квадрата в 2 раза | в 4 раза | (2a)^2 = 4a^2 |
| Радиус круга в 3 раза | в 9 раз | π(3r)^2 = 9πr^2 |
| Одну сторону прямоугольника в k раз | в k раз | S = ab, меняется один множитель |
| Основание треугольника в 2 раза, высоту в 2 раза меньше | не изменилась | 1/2 · 2a · h/2 = 1/2ah |
Как выбрать формулу площади
Смотрите не на название фигуры, а на то, что дано. Есть сторона и высота к ней — формулы «основание на высоту» (у треугольника с множителем 1/2). Есть две стороны и угол между ними — формулы с синусом. Есть диагонали — формула 1/2d_1 d_2 · sin φ, а у ромба и квадрата просто (d_1 d_2)/2.
Если данных не хватает, недостающий отрезок обычно находят по теореме Пифагора: высоту равнобедренного треугольника и трапеции, вторую сторону прямоугольника по диагонали, вторую диагональ ромба.
Площадь сложной фигуры
Сложную фигуру разрезают на простые — прямоугольники, треугольники, трапеции, части круга — и складывают их площади. Иногда проще дополнить фигуру до прямоугольника и вычесть лишнее.
На клетчатой бумаге работает формула Пика: S = В + Г/2 − 1, где В — узлы сетки внутри фигуры, Г — на её границе. Подробнее — на странице площадь многоугольника.
В чём измеряется площадь
В квадратных единицах: мм^2, см^2, дм^2, м^2, км^2, а для земли — в арах (сотках) и гектарах. 1 м^2 = 10 000 см^2, 1 сотка = 100 м^2, 1 га = 10 000 м^2.
Все длины переводят в одни единицы до умножения. Если одна сторона в метрах, а другая в сантиметрах, ответ получится бессмысленным.
Проверь себя
Формулы площадей: 5 вопросов, от простых к трудным. Узнать нужную формулу по фигуре и по тому, что дано.
Дальше — задание 1 по профильной математике. Планиметрия — 35 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Площади плоских фигур нужны в нескольких номерах ЕГЭ по математике: в профильной — планиметрия первой и второй части, в базовой — клетчатая бумага, практические задачи и теоремы о треугольнике. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 1 профильной математикиПланиметрия: площади треугольников и четырёхугольников.
- Задание 9 базовой математикиПлощади фигур на клетчатой бумаге.
- Задание 10 базовой математикиПрактическая планиметрия: участки, комнаты, круги из секторов.
- Задание 12 базовой математикиТеоремы о треугольнике: катет по теореме Пифагора и площадь.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Дают ли формулы площадей на ЕГЭ?
В базовой математике — частично: по демоверсии 2026 года в справочных материалах есть площади параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба и круга, но нет площади сектора. В профильной формул площадей в справке нет, их нужно помнить. Состав справки — на странице справочные материалы ЕГЭ.
Почему у треугольника в формуле площади стоит ½?
Треугольник — половина параллелограмма с тем же основанием и высотой: диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Как найти площадь фигуры, для которой нет формулы?
Разрезать её на знакомые фигуры и сложить площади или дополнить до прямоугольника и вычесть лишнее. Для многоугольника с вершинами в узлах сетки — формула Пика.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: площади многоугольников, длина окружности и площадь круга
- Формулы стереометрии и планиметрии для ЕГЭ — шпаргалка НейроМиши в PDF: 87 формул геометрии с условиями применения