Площадь круга: формулы и калькулятор
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса: S = πr^2, где π ≈ 3,14. Через диаметр S = (πd^2)/4, через длину окружности S = (C^2)/(4π).
Формулы площади круга
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Радиус | S = πr^2 | π ≈ 3,14 |
| Диаметр | S = (πd^2)/4 | радиус — половина диаметра |
| Длина окружности | S = (C^2)/(4π) | из C = 2πr: r = C/(2π) |
| Кольцо: внешний и внутренний радиусы | S = π(R^2 − r^2) | площадь большого круга минус площадь малого |
| Длина окружности | C = 2πr = πd | длина границы круга |
| Радиус по площади | r = √(S/π) | обратная задача |
| Сектор круга | S = (πr^2 · α)/(360°) | часть круга с центральным углом α — отдельная страница |
π ≈ 3,14159 — отношение длины окружности к диаметру. Для расчётов «вручную» берут 3,14, в ответе ЕГЭ «через π» записывают множитель при π.
Как найти площадь круга?
Площадь круга равна числу π, умноженному на квадрат радиуса. Если дан диаметр, радиус — его половина, и формула становится S = πd²/4. Если дана длина окружности C, радиус равен C/(2π). В задачах ЕГЭ ответ часто просят «через π»: тогда записывают только множитель при π, например 25 для площади 25π.
Скачать PDFА4, 1 лист, 255 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: как найти площадь круга
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| Радиус 4 см | S = π · 4^2 = 16π | ≈ 50,27 см^2 |
| Диаметр 10 см | r = 5; S = π · 5^2 = 25π | ≈ 78,54 см^2 |
| Радиус 0,5 м | S = π · 0,5^2 = 0,25π | ≈ 0,785 м^2 |
| Длина окружности 12π | r = 12π/(2π) = 6; S = 36π | 36π ≈ 113,1 |
| Кольцо: радиусы 7 и 3 | S = π(7^2 − 3^2) = 40π | ≈ 125,66 |
| Площадь 49π: найти радиус | r^2 = 49 | 7 |
Площадь круга через диаметр и длину окружности
Диаметр — удвоенный радиус, поэтому S = π(d/2)^2 = (πd^2)/4. Для диаметра 10 см площадь 25π ≈ 78,54 см^2. Частая ошибка — подставить диаметр вместо радиуса и получить ответ в четыре раза больше.
Из C = 2πr радиус r = C/(2π), а площадь S = (C^2)/(4π). Если длина окружности 31,4 см, радиус около 5 см, площадь около 78,5 см^2.
Площадь кольца
Кольцо — круг радиуса R без круга радиуса r с тем же центром. Его площадь — разность площадей: S = πR^2 − πr^2 = π(R^2 − r^2).
Разность квадратов удобно раскладывать: R^2 − r^2 = (R − r)(R + r). Шайба с радиусами 7 и 3 мм имеет площадь π · 4 · 10 = 40π ≈ 125,7 мм^2.
Ответ через π и точность
Когда в задаче сказано «ответ дайте через π» или «найдите S/π», записывают множитель: при S = 16π ответ 16. Если просят десятичную дробь, умножают на π ≈ 3,14 и округляют, как сказано в условии.
Калькулятор выше показывает оба вида ответа: точный — через π — и десятичный до сотых. Число π можно вводить и в поля: «10π» или «10pi».
Проверь себя
Площадь круга: 5 вопросов, от простых к трудным. Радиус, диаметр, длина окружности, кольцо и ответ через π.
Дальше — задание 1 по профильной математике. Планиметрия — 35 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Площадь круга и его частей — сектора, кольца — встречается в планиметрии и на клетчатой бумаге, где часто просят ответ через π. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 1 профильной математикиПланиметрия: окружность, круг, вписанные и описанные фигуры.
- Задание 10 базовой математикиПрактическая планиметрия: круг, разделённый на равные секторы.
- Задание 9 базовой математикиФигуры на клетчатой бумаге, в том числе круг, сектор и кольцо с ответом через π.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как найти площадь круга, если известен диаметр?
Разделить диаметр пополам и подставить радиус в S = πr², или сразу по формуле S = πd²/4. При диаметре 12 см площадь 36π ≈ 113 см².
Что значит «ответ дайте через π»?
Записать только множитель при π. Если площадь 25π, в бланк идёт 25. Иногда просят найти S/π — это то же самое.
Чем площадь круга отличается от длины окружности?
Окружность — линия, у неё длина C = 2πr в сантиметрах. Круг — часть плоскости внутри окружности, у него площадь S = πr² в квадратных сантиметрах.
Во сколько раз больше площадь круга с вдвое большим радиусом?
В четыре раза, потому что радиус стоит в квадрате: π(2r)² = 4πr². При радиусе втрое больше площадь больше в девять раз.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: окружность и круг, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: длина окружности, площадь круга и кругового сектора
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице