Площадь треугольника: формулы и калькулятор

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны, поэтому один катет служит высотой к другому: S = 1/2ab. Если известны гипотенуза c и катет a, второй катет находят по теореме Пифагора: b = √(c^{^2} − a^{^2}). При c = 13 и a = 5 получается b = 12 и S = 30.

Площадь можно записать и через гипотенузу: S = 1/2c · h_{_c}, где h_{_c} — высота из прямого угла. Отсюда удобная формула этой высоты: h_{_c} = ab/c. У треугольника с катетами 6 и 8 гипотенуза 10, а высота к ней 4,8.

Площадь равнобедренного и равностороннего треугольника

В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам. Поэтому h = √(b^{^2} − (a^{^2})/4), где a — основание, b — боковая сторона, и S = 1/2a · h. Для основания 10 и боковой стороны 13 высота равна 12, площадь — 60.

У равностороннего треугольника со стороной a высота h = a√3/2, а площадь S = (a^{^2}√3)/4, примерно 0,433 · a^{^2}. При стороне 6 это 9√3 ≈ 15,59.

Площадь треугольника через синус угла

Если известны две стороны и угол между ними, высоту искать не нужно: S = 1/2ab · sin γ. Высота к стороне a здесь уже спрятана в формуле — это b · sin γ.

Пример: стороны 6 и 8, угол между ними 30°. S = 1/2 · 6 · 8 · 1/2 = 12. Если угол 150°, ответ тот же, потому что sin 150° = sin 30°. При угле 90° синус равен 1, и формула превращается в площадь прямоугольного треугольника по катетам. Значения синусов — в таблице синусов и косинусов.

Площадь по трём сторонам: формула Герона

Сначала находят полупериметр p = (a + b + c)/2, затем S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Если под корнем вышел ноль или отрицательное число, треугольника с такими сторонами нет: одна сторона не меньше суммы двух других.

Формулу проверяют на «египетском» треугольнике 3, 4, 5. Полупериметр 6, S = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6 — столько же, сколько 1/2 · 3 · 4 по катетам.

Площадь треугольника ABC по координатам и на клетках

Для вершин A(x_{_1}; y_{_1}), B(x_{_2}; y_{_2}), C(x_{_3}; y_{_3}) площадь равна S = 1/2 · |(x_{_2} − x_{_1})(y_{_3} − y_{_1}) − (x_{_3} − x_{_1})(y_{_2} − y_{_1})|. Модуль нужен потому, что без него знак ответа зависит от порядка обхода вершин.

На клетчатой бумаге обычно быстрее другой приём: обвести треугольник прямоугольником по линиям сетки и вычесть площади прямоугольных треугольников по углам. Для многоугольника с вершинами в узлах сетки работает и формула Пика.

Где чаще всего ошибаются?

• Берут высоту, проведённую не к той стороне. В S = 1/2ah высота должна быть перпендикуляром именно к стороне a или к её продолжению.
• Подставляют в S = 1/2ab · sin γ угол, который не лежит между сторонами a и b.
• Забывают множитель 1/2 и получают площадь параллелограмма — вдвое больше ответа.
• Путают единицы: стороны в сантиметрах, а площадь записывают в метрах. Площадь измеряют в квадратных единицах: см^{^2}, м^{^2}.