Площадь трапеции: формулы и калькулятор
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (a + b)/2 · h. Через среднюю линию S = m · h, через диагонали S = 1/2d_1 d_2 · sin φ.
Формулы площади трапеции
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Основания и высота | S = (a + b)/2 · h | a и b — основания, h — расстояние между ними |
| Средняя линия и высота | S = m · h | m = (a + b)/2 — средняя линия |
| Диагонали и угол между ними | S = 1/2 · d_1 · d_2 · sin φ | верно для любого выпуклого четырёхугольника |
| Равнобедренная: основания и боковая сторона | S = (a + b)/2 · √(c^2 − ((a − b)/2)^2) | высота отсекает от большего основания отрезок (a − b)/2 |
| Четыре стороны | S = (a + b)/2 · h | h — высота треугольника со сторонами a − b, c и d (a > b — основания) |
| Средняя линия | m = (a + b)/2 | соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям |
| Прямоугольная трапеция | S = (a + b)/2 · c | c — боковая сторона, перпендикулярная основаниям: она и есть высота |
| Высота по площади | h = 2S/(a + b) | обратная задача |
Основания — две параллельные стороны трапеции, высота — расстояние между ними. Боковые стороны в формулу S = (a + b)/2 · h не входят. Трапеция — одна из частых фигур задания 1 профильной математики.
Как найти площадь трапеции?
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Полусумма оснований — это средняя линия, поэтому формулу пишут и короче: средняя линия на высоту. Если высота не дана, её достраивают: в равнобедренной трапеции — по теореме Пифагора из боковой стороны, в общем случае — через треугольник со сторонами a − b, c и d.
Скачать PDFА4, 1 лист, 291 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: как найти площадь трапеции
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| Основания 9 и 5, высота 4 | S = (9 + 5)/2 · 4 = 7 · 4 | 28 |
| Средняя линия 11, высота 6 | S = 11 · 6 | 66 |
| Равнобедренная: основания 20 и 8, боковая сторона 10 | (20 − 8)/2 = 6; h = √(10^2 − 6^2) = 8; S = 14 · 8 | 112 |
| Прямоугольная: основания 7 и 3, наклонная сторона 5 | h = √(5^2 − 4^2) = 3; S = 5 · 3 | 15 |
| Диагонали 8 и 10, угол между ними 30° | S = 1/2 · 8 · 10 · 1/2 | 20 |
| Основания 21 и 7, боковые стороны 13 и 15 | треугольник 14, 13, 15: S_1 = 84, h = (2 · 84)/14 = 12; S = 14 · 12 | 168 |
Площадь равнобедренной трапеции
Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего два равных отрезка по (a − b)/2. С боковой стороной c они образуют прямоугольный треугольник, поэтому h = √(c^2 − ((a − b)/2)^2), а площадь — (a + b)/2 · h.
Пример: основания 16 и 6, боковая сторона 13. Отрезок (16 − 6)/2 = 5, высота √(169 − 25) = 12, площадь 11 · 12 = 132.
Площадь трапеции по четырём сторонам
Через конец меньшего основания проводят прямую, параллельную боковой стороне. Она отрезает треугольник со сторонами a − b, c и d, а его высота совпадает с высотой трапеции. Площадь треугольника находят по формуле Герона, затем h = (2S_1)/(a − b).
Для оснований 20 и 6 и боковых сторон 13 и 15 получается треугольник 14, 13, 15 с площадью 84. Высота 2 · 84 / 14 = 12, площадь трапеции 13 · 12 = 156. Этот способ стоит в калькуляторе как «Четыре стороны».
Площадь через диагонали и средняя линия
Формула S = 1/2d_1 d_2 · sin φ верна для любого выпуклого четырёхугольника, в том числе для трапеции. Если диагонали перпендикулярны, sin φ = 1 и S = (d_1 d_2)/2.
Средняя линия m = (a + b)/2 превращает основную формулу в S = m · h. В задачах часто дают среднюю линию и одно основание: второе находят как 2m − a.
Проверь себя
Площадь трапеции: 5 вопросов, от простых к трудным. Основания и высота, средняя линия, равнобедренная и прямоугольная трапеции.
Дальше — задание 1 по профильной математике. Планиметрия — 35 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 1 ЕГЭ по профильной математике. Пригодятся строки «Основания и высота» и «Средняя линия и высота»: средняя линия — полусумма оснований, отсюда и неизвестное основание.
-
Задание 1 из 2
В трапеции ABCD основания AD = 14 и BC = 6, а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Средняя линия трапеции ABCD (AD ∥ BC) равна 15, а основание BC = 8. Найдите основание AD.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Трапеция — одна из самых частых фигур в задании 1 профильной математики: площадь, средняя линия, углы при основании. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 1 профильной математикиПланиметрия: площадь трапеции, средняя линия, высота равнобедренной трапеции.
- Задание 9 базовой математикиТрапеция на клетчатой бумаге: основания и высоту считают по клеткам.
- Задание 18 профильной математикиПланиметрия с доказательством: площади частей трапеции, отсечённых диагоналями.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Какие стороны трапеции называют основаниями?
Две параллельные стороны. Две другие — боковые. В формулу площади входят только основания и высота — расстояние между ними.
Как найти площадь трапеции, если высота не дана?
Достроить высоту из вершины меньшего основания. В равнобедренной трапеции она отсекает отрезок (a − b)/2 и находится по теореме Пифагора; в общем случае помогает треугольник со сторонами a − b, c и d.
На какие части делят трапецию её диагонали?
На четыре треугольника. Два треугольника при боковых сторонах равновелики, а треугольники при основаниях подобны с коэффициентом a/b, поэтому их площади относятся как a²/b².
Подходит ли формула трапеции для параллелограмма?
Да, если считать его трапецией с равными основаниями: (a + a)/2 · h = a · h. Для треугольника тоже: при b = 0 получается ½ · a · h.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: трапеция, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: площадь трапеции, средняя линия трапеции
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице