Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол
Теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ, где γ — угол между сторонами a и b. При a = 5, b = 8 и γ = 60° третья сторона c = 7.
Теорема косинусов: все формулы
Такой формулы нет. Попробуйте: сторона, угол, 60, 120, медиана, диагональ.
| Что найти | Формула | Когда применять |
|---|---|---|
| Сторона c | c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ | γ — угол между сторонами a и b, он лежит против стороны c |
| Сторона a | a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos α | α — угол между b и c, против стороны a |
| Сторона b | b^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos β | β — угол между a и c, против стороны b |
| Третья сторона | c = √(a^2 + b^2 − 2ab cos γ) | известны две стороны и угол между ними |
| Косинус угла по трём сторонам | cos γ = (a^2 + b^2 − c^2)/(2ab) | известны три стороны; cos γ < 0 — угол тупой |
| Угол 90° | c^2 = a^2 + b^2 | cos 90° = 0 — это теорема Пифагора |
| Угол 60° | c^2 = a^2 + b^2 − ab | cos 60° = 1/2 |
| Угол 120° | c^2 = a^2 + b^2 + ab | cos 120° = −1/2: у тупого угла минус меняется на плюс |
| Угол 45° | c^2 = a^2 + b^2 − √2ab | cos 45° = √2/2 |
| Угол 135° | c^2 = a^2 + b^2 + √2ab | cos 135° = −√2/2 |
| Угол 30° | c^2 = a^2 + b^2 − √3ab | cos 30° = √3/2 |
| Угол 150° | c^2 = a^2 + b^2 + √3ab | cos 150° = −√3/2 |
| Медиана к стороне c | m_c = 1/2√(2a^2 + 2b^2 − c^2) | следствие теоремы косинусов для двух половин стороны c |
| Диагонали параллелограмма | d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) | теорема косинусов для двух треугольников: косинусы соседних углов противоположны |
Значения косинусов других углов — в таблице синусов и косинусов.
Как пользоваться формулами?
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, c² = a² + b² − 2ab·cos γ. По ней находят третью сторону по двум сторонам и углу, а по трём сторонам — любой угол.
Скачать PDFА4, 2 листа, 317 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Вид треугольника по сторонам
| Сравнение сторон | Знак cos γ | Угол γ против стороны c |
|---|---|---|
| c^2 < a^2 + b^2 | cos γ > 0 | острый |
| c^2 = a^2 + b^2 | cos γ = 0 | прямой |
| c^2 > a^2 + b^2 | cos γ < 0 | тупой |
Проверять достаточно наибольшую сторону: если угол против неё острый, остальные углы тоже острые. Пример: 4, 5, 7 — 49 > 16 + 25, треугольник тупоугольный.
Теорема синусов и косинусов: какую выбрать
| Что известно | Что найти | Чем пользоваться |
|---|---|---|
| две стороны и угол между ними | третью сторону | теорема косинусов |
| три стороны | любой угол | теорема косинусов, формула для cos |
| сторона и два угла | две другие стороны | сумма углов 180°, затем теорема синусов |
| две стороны и угол против одной из них | третью сторону | теорема косинусов как квадратное уравнение или теорема синусов; решений может быть два |
| сторона и противолежащий угол | радиус описанной окружности | теорема синусов: a/(sin α) = 2R |
Теорема синусов со всеми следствиями — на странице теорема синусов.
Как звучит теорема косинусов?
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны c и угла γ между сторонами a и b: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ.
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике cos 90° = 0 и последнее слагаемое исчезает. Для острого угла вычитается положительное число, и сторона против него короче, чем была бы при прямом угле; для тупого — косинус отрицателен, и сторона длиннее.
Доказательство теоремы косинусов
Поместим вершину C в начало координат, а сторону CA — на ось Ox. Тогда A(b; 0), а точка B, удалённая от C на a под углом γ к оси, имеет координаты (a cos γ; a sin γ).
По формуле расстояния c^2 = AB^2 = (a cos γ − b)^2 + (a sin γ)^2 = a^2 cos^2 γ − 2ab cos γ + b^2 + a^2 sin^2 γ. Так как sin^2 γ + cos^2 γ = 1, получаем c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ. Доказательство годится для любого угла γ — острого, прямого и тупого.
Примеры решения задач по теореме косинусов
Найти сторону. a = 5, b = 8, γ = 60°. c^2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 89 − 40 = 49, c = 7.
Найти угол. Стороны 3, 5 и 7. Наибольший угол — против стороны 7: cos γ = (9 + 25 − 49)/(2 · 3 · 5) = (−15)/30 = −1/2, значит γ = 120°.
Найти медиану. В треугольнике со сторонами a = 6, b = 8, c = 10 медиана к стороне c: m_c = 1/2√(72 + 128 − 100) = 1/2 · 10 = 5 — ровно половина гипотенузы, как и должно быть в прямоугольном треугольнике.
Где ошибаются чаще всего?
- Берут не тот угол. В формуле для c стоит угол между a и b — он лежит против стороны c.
- Теряют знак у тупого угла: cos 120° = −1/2, и «минус на минус» даёт плюс: c^2 = a^2 + b^2 + ab.
- Забывают извлечь корень: формула даёт c^2, а не c.
- Считают по косинусу угол, не проверив калькулятор: на ЕГЭ его нет, поэтому задачи подобраны под углы 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° с табличными косинусами.
Проверь себя
Теорема косинусов: сторона, угол, вид треугольника: 5 вопросов, от простых к трудным. От подстановки в формулу к углу по трём сторонам и диагоналям параллелограмма.
Дальше — задание 1 по профильной математике. Планиметрия — 35 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Теорема косинусов нужна в планиметрии обеих частей ЕГЭ: в задании 1 профиля и 12 базы — чтобы найти сторону или угол, в задании 18 профиля — как шаг доказательства и вычисления.
- Задание 1 профильной математикиПланиметрия: стороны и углы треугольника, параллелограмма, трапеции.
- Задание 12 базовой математикиТеоремы о треугольнике: Пифагор, синусы, косинусы, средняя линия.
- Задание 18 профильной математикиПланиметрия с доказательством: теорема косинусов — частый шаг вычисления.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как найти третью сторону треугольника по двум сторонам и углу?
Если угол лежит между известными сторонами — по теореме косинусов: c = √(a^2 + b^2 − 2ab cos γ). При a = 3, b = 8 и γ = 60° получается √49 = 7.
Как найти угол треугольника по трём сторонам?
Выразите косинус: cos γ = (a^2 + b^2 − c^2)/(2ab), где c — сторона против искомого угла. Затем угол находят по таблице косинусов: 1/2 — 60°, 0 — 90°, −1/2 — 120°.
В каком классе проходят теорему косинусов?
В 9 классе геометрии, в теме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, вместе с теоремой синусов. На ЕГЭ она нужна уже как готовый инструмент.
Когда применять теорему косинусов, а когда теорему синусов?
Теорема косинусов связывает три стороны и один угол: её берут, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны. Теорема синусов связывает пары «сторона — противолежащий угол»: её берут, когда известны сторона и два угла или нужен радиус описанной окружности.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, раздел «Геометрия»: треугольник, решение треугольников; справочные материалы демоверсии
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — все числа в примерах и тренажёре пересчитаны программой: стороны и углы треугольников совпадают с формулами