Площадь многоугольника: формулы и калькулятор
Площадь правильного n-угольника со стороной a: S = (na^2)/(4 · tg(180°/n)), правильного шестиугольника S = 3√3/2a^2. На клетчатой бумаге — формула Пика S = В + Г/2 − 1.
Формулы площади многоугольника
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Правильный n-угольник: сторона | S = (n · a^2)/(4 · tg(180°/n)) | n — число сторон, a — сторона |
| Правильный n-угольник: радиус описанной окружности | S = 1/2 · n · R^2 · sin(360°/n) | многоугольник делится на n равнобедренных треугольников |
| Правильный n-угольник: радиус вписанной окружности | S = n · r^2 · tg(180°/n) | r — апофема, расстояние от центра до стороны |
| Правильный шестиугольник: сторона | S = 3√3/2 · a^2 | шесть правильных треугольников со стороной a |
| На клетчатой бумаге (формула Пика) | S = В + Г/2 − 1 | В — узлы сетки внутри, Г — узлы на границе; площадь в клетках |
| Периметр и радиус вписанной окружности | S = 1/2 · P · r | для любого многоугольника, в который вписана окружность |
| Сумма углов выпуклого n-угольника | 180° · (n − 2) | у правильного каждый угол (180° · (n − 2))/n |
| Правильный шестиугольник: радиусы | R = a; r = a√3/2 | сторона равна радиусу описанной окружности |
| Произвольный многоугольник | S = S_1 + S_2 + … + S_k | разрезать на треугольники и прямоугольники и сложить площади |
Для правильного n-угольника все формулы связаны: R — радиус описанной окружности, r — вписанной (апофема), a = 2R · sin(180°/n) = 2r · tg(180°/n).
Как найти площадь многоугольника?
Площадь многоугольника находят одним из трёх способов. Правильный многоугольник делят на n равных треугольников с вершиной в центре. Многоугольник на клетчатой бумаге считают по формуле Пика — по числу узлов сетки внутри и на границе. Любой другой разрезают на треугольники и прямоугольники и складывают их площади.
Скачать PDFА4, 2 листа, 287 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: площадь многоугольника
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| Правильный шестиугольник, a = 6 | S = 3√3/2 · 36 = 54√3 | ≈ 93,53 |
| Правильный восьмиугольник, a = 2 | S = (8 · 4)/(4 · tg 22,5°) | ≈ 19,31 |
| Правильный пятиугольник, a = 10 | S = (5 · 100)/(4 · tg 36°) | ≈ 172,05 |
| Правильный 12-угольник, R = 1 | S = 1/2 · 12 · 1 · sin 30° | 3 |
| Клетчатая бумага: В = 5, Г = 8 | S = 5 + 8/2 − 1 | 8 клеток |
| Описанный многоугольник: P = 30, r = 4 | S = 1/2 · 30 · 4 | 60 |
Площадь правильного многоугольника
Правильный n-угольник — все стороны и все углы равны. Отрезки из центра к вершинам делят его на n равнобедренных треугольников с боковыми сторонами R и углом 360°/n при вершине. Отсюда S = 1/2nR^2 · sin(360°/n).
Если известна сторона a, высота такого треугольника — апофема r = a/(2 · tg(180°/n)), и площадь S = 1/2Pr = (na^2)/(4 · tg(180°/n)). Для квадрата (n = 4) формула даёт a^2, для правильного треугольника — (a^2√3)/4.
Площадь правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник складывается из шести правильных треугольников со стороной a, поэтому S = 6 · (a^2√3)/4 = 3√3/2a^2 ≈ 2,598a^2. Радиус описанной окружности равен стороне, радиус вписанной — a√3/2.
Шестиугольник со стороной 4 имеет площадь 24√3 ≈ 41,57. Такая форма у пчелиных сот и у оснований шестиугольных призм и пирамид — их объёмы на страницах объём призмы и объём пирамиды.
Формула Пика: площадь на клетчатой бумаге
Если все вершины многоугольника лежат в узлах сетки, его площадь в клетках S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов строго внутри, Г — на границе, включая вершины. Формулу доказал австрийский математик Георг Пик в 1899 году.
На рисунке выше 11 узлов внутри и 12 на границе: S = 11 + 6 − 1 = 16 клеток. Без формулы ту же площадь получают, обводя фигуру прямоугольником по сетке и вычитая лишние треугольники.
Сумма углов многоугольника
Диагонали из одной вершины делят выпуклый n-угольник на n − 2 треугольника, поэтому сумма его углов 180° · (n − 2). У пятиугольника это 540°, у шестиугольника 720°.
Каждый угол правильного n-угольника равен (180° · (n − 2))/n: у правильного шестиугольника 120°, у восьмиугольника 135°. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника — 360°.
Проверь себя
Площадь многоугольника: 5 вопросов, от простых к трудным. Правильные многоугольники, формула Пика и сумма углов.
Дальше — задание 1 по профильной математике. Планиметрия — 35 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Многоугольники на клетчатой бумаге — отдельное задание базовой математики, а правильные многоугольники встречаются в планиметрии и в основаниях призм и пирамид. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 9 базовой математикиПлощадь многоугольника на клетчатой бумаге: формула Пика или разбиение на части.
- Задание 1 профильной математикиПланиметрия: углы и площади правильных многоугольников.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: шестиугольная призма или пирамида — площадь основания.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как найти площадь неправильного многоугольника?
Разрезать его диагоналями на треугольники (или на треугольники и прямоугольники), найти площадь каждой части и сложить. Если вершины в узлах сетки, быстрее формула Пика S = В + Г/2 − 1.
Чему равна площадь правильного шестиугольника со стороной 1?
3√3/2 ≈ 2,598. Для стороны a площадь в a² раз больше: при a = 4 это 24√3 ≈ 41,57.
Какие узлы считать в формуле Пика?
Г — все узлы сетки на сторонах многоугольника, включая вершины; В — узлы строго внутри. Узел на стороне не считают внутренним.
Какая сумма углов у многоугольника?
У выпуклого n-угольника — 180°·(n − 2): у четырёхугольника 360°, у пятиугольника 540°, у шестиугольника 720°.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: многоугольники, правильные многоугольники, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: многоугольники, сумма углов, правильные многоугольники, вписанная и описанная окружности
- Примеры и калькулятор — значения в примерах и число узлов на рисунке пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице