Площадь поверхности пирамиды: формулы и примеры

Площадь поверхности пирамиды: S_полн = S_осн + S_бок. Для правильной пирамиды S_бок = 1/2P_осн · h_a, где h_a — апофема. У правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a: S_полн = a^2 + 2a · h_a.

Площадь поверхности пирамиды: формулы

Формулы площади полной и боковой поверхности пирамиды, правильных пирамид и тетраэдра, формулы апофемы
Что известноФормулаОбозначения
Полная поверхностьS_полн = S_осн + S_бокдля любой пирамиды
Боковая поверхность любой пирамидыS_бок = S_1 + S_2 + … + S_nсумма площадей боковых граней-треугольников
Боковая поверхность правильной пирамидыS_бок = 1/2P_осн · h_aP_осн — периметр основания, h_a — апофема
Через угол наклона гранейS_бок = (S_осн)/(cos φ)φ — угол между боковой гранью и основанием, одинаковый у всех граней
Правильная четырёхугольнаяS_полн = a^2 + 2a · h_aa — сторона квадрата в основании
Правильная треугольная: боковаяS_бок = 3/2a · h_aтри одинаковые грани с основанием a
Правильная треугольная: полнаяS_полн = (a^2√3)/4 + 3/2a · h_aоснование — равносторонний треугольник
Правильная шестиугольнаяS_полн = 3√3/2a^2 + 3a · h_aоснование — правильный шестиугольник
Правильный тетраэдрS = a^2√3четыре равносторонних треугольника с ребром a
Апофема через высотуh_a = √(h^2 + r^2)r — радиус вписанной окружности основания: a/2 у квадрата, a√3/6 у треугольника
Апофема через боковое реброh_a = √(b^2 − (a^2)/4)b — боковое ребро, a — сторона основания
ablh
Четырёхугольная пирамида
ah
Треугольная пирамида

Объём пирамиды — на странице объём пирамиды, площади оснований — в формулах площадей фигур.

Площадь поверхности пирамиды: формулы
Площадь поверхности пирамиды: формулы — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться формулами?

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: S = Sосн + Sбок. У правильной пирамиды боковая поверхность — половина произведения периметра основания на апофему, Sбок = ½·P·hₐ, где апофема hₐ — высота боковой грани. В таблице — формулы для правильных треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид и тетраэдра, а ещё как найти апофему через высоту или боковое ребро.

Скачать PDFА4, 1 лист, 252 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс геометрии 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Пример: площадь поверхности правильной пирамиды

Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Радиус вписанной в квадрат окружности r = 3, апофема h_a = √(4^2 + 3^2) = 5. Боковая поверхность S_бок = 1/2 · 24 · 5 = 60, основание 36, полная поверхность 96.

Правильная треугольная пирамида: сторона основания 8, боковое ребро 5. Апофема h_a = √(25 − 16) = 3, боковая поверхность S_бок = 3/2 · 8 · 3 = 36. Основание 64√3/4 = 16√3, полная поверхность 36 + 16√3 ≈ 63,7.

Где ошибаются чаще всего?

  • Путают апофему с высотой пирамиды. Высота опущена на основание, апофема лежит в боковой грани — она всегда длиннее высоты.
  • Путают апофему с боковым ребром. Ребро идёт в вершину основания, апофема — в середину стороны.
  • Считают только боковую поверхность, когда спрашивают полную, и наоборот: читайте, какая нужна.
  • Берут для треугольной пирамиды радиус описанной окружности вместо вписанной: в формуле апофемы нужен r = a√3/6.

Проверь себя

Площадь поверхности пирамиды: 5 вопросов, от простых к трудным. От площади граней к апофеме через высоту и боковое ребро.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 13 ЕГЭ по базовой математике. Пригодятся строки «Апофема через боковое ребро» и «Правильная треугольная: боковая»: сначала h_{a} = √{b^{2} − frac{a^{2}}{4}}, потом S_{бок} = frac{3}{2}a · h_{a}.

  1. Задание 1 из 2

    В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

    Показать ответ

  2. Задание 2 из 2

    В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 10. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Площадь поверхности пирамиды спрашивают в задании 3 профильной математики (стереометрия: объёмы и площади) и в задании 13 базовой, где часто нужна боковая поверхность правильной треугольной пирамиды.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Как найти площадь полной поверхности пирамиды?

Сложить площадь основания и площади всех боковых граней. У правильной пирамиды боковые грани одинаковые, поэтому S_полн = S_осн + 1/2P_осн · h_a.

Как найти апофему пирамиды?

Через боковое ребро b и сторону основания a: h_a = √(b^2 − (a^2)/4). Или через высоту h и радиус вписанной окружности основания r: h_a = √(h^2 + r^2).

Чем площадь боковой поверхности отличается от полной?

Боковая — это только грани-треугольники, полная — ещё и основание. Для правильной четырёхугольной пирамиды разница равна a^2.

Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра?

S = a^2√3: четыре равносторонних треугольника по (a^2√3)/4. При ребре 3 получается 9√3 ≈ 15,6.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела