Теорема Пифагора: формула и пифагоровы тройки

Q: Что такое пифагоровы тройки?

Три натуральных числа a, b, c, для которых a^2 + b^2 = c^2: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25, 20–21–29 и другие. Они дают прямоугольные треугольники с целыми сторонами, и задачи ЕГЭ часто на них построены.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, c² = a² + b². Отсюда гипотенуза c = √(a² + b²), катет a = √(c² − b²). Например, при катетах 3 и 4 гипотенуза равна 5.

Формула теоремы Пифагора и её следствия

Теорема Пифагора: формулы гипотенузы, катета, диагоналей и расстояния
Что найти	Формула	Пояснение
Теорема Пифагора	c^{^2} = a^{^2} + b^{^2}	a, b — катеты, c — гипотенуза, лежит против прямого угла
Гипотенуза	c = √(a^{^2} + b^{^2})	гипотенуза длиннее каждого катета
Катет	a = √(c^{^2} − b^{^2})	из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета
Обратная теорема	c^{^2} = a^{^2} + b^{^2} ⇒ ∠C = 90°	если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный
Равнобедренный прямоугольный треугольник	c = a√2	катеты равны, углы 45°
Диагональ квадрата	d = a√2	a — сторона квадрата
Диагональ прямоугольника	d = √(a^{^2} + b^{^2})	a и b — стороны прямоугольника
Высота равностороннего треугольника	h = a√3/2	высота делит сторону пополам: h^{^2} = a^{^2} − (a/2)^{^2}
Расстояние между точками	d = √((x_{_2} − x_{_1})^{^2} + (y_{_2} − y_{_1})^{^2})	разности координат — катеты
Диагональ прямоугольного параллелепипеда	d^{^2} = a^{^2} + b^{^2} + c^{^2}	теорема Пифагора, применённая дважды

Теорема верна только для прямоугольного треугольника. Для произвольного треугольника её обобщает теорема косинусов: c^{^2} = a^{^2} + b^{^2} − 2ab cos C, при C = 90° она превращается в теорему Пифагора.

Теорема Пифагора: формула теоремы Пифагора и её следствия — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться таблицей?

Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В первой таблице — формула и все её следствия: гипотенуза, катет, диагонали, высота, расстояние между точками. Во второй — пифагоровы тройки до 100: по ним сторону часто видно сразу, без извлечения корня.

Скачать PDFА4, 2 листа, 233 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено 29 сентября 2026 · Математика · школьный курс геометрии 8 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Пифагоровы тройки: таблица до 100

Пифагоровы тройки натуральных чисел с гипотенузой до 100: катеты a, b и гипотенуза c
Катет a	Катет b	Гипотенуза c	Вид
3	4	5	основная
6	8	10	кратная
5	12	13	основная
9	12	15	кратная
8	15	17	основная
12	16	20	кратная
7	24	25	основная
15	20	25	кратная
10	24	26	кратная
20	21	29	основная
18	24	30	кратная
16	30	34	кратная
21	28	35	кратная
12	35	37	основная
15	36	39	кратная
24	32	40	кратная
9	40	41	основная
27	36	45	кратная
14	48	50	кратная
30	40	50	кратная
24	45	51	кратная
20	48	52	кратная
28	45	53	основная
33	44	55	кратная
40	42	58	кратная
36	48	60	кратная
11	60	61	основная
16	63	65	основная
25	60	65	кратная
33	56	65	основная
39	52	65	кратная
32	60	68	кратная
42	56	70	кратная
48	55	73	основная
24	70	74	кратная
21	72	75	кратная
45	60	75	кратная
30	72	78	кратная
48	64	80	кратная
18	80	82	кратная
13	84	85	основная
36	77	85	основная
40	75	85	кратная
51	68	85	кратная
60	63	87	кратная
39	80	89	основная
54	72	90	кратная
35	84	91	кратная
57	76	95	кратная
65	72	97	основная
28	96	100	кратная
60	80	100	кратная

Основная тройка — без общего делителя. Кратные получаются умножением: из 3–4–5 выходят 6–8–10, 9–12–15, 30–40–50. В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 и 7–24–25.

Закрепи в тренажёре

Где это на ЕГЭ: задание 12 по базовой математике. Теоремы о треугольнике — 32 задания с проверкой, без регистрации.

Решать задание 12 на neuromisha.ru

Где это на ЕГЭ: задание 12 по базовой математике — тренажёр на neuromisha.ru

Наведи камеру телефона

Как звучит теорема Пифагора?

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза — сторона против прямого угла, самая длинная; катеты — две стороны, образующие прямой угол. Геометрическая формулировка: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Как найти гипотенузу и катет по теореме Пифагора?

Гипотенуза: возведите катеты в квадрат, сложите и извлеките корень. Катеты 9 и 12: 81 + 144 = 225, c = 15. Катет: из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета. Гипотенуза 26, катет 10: 676 − 100 = 576, катет равен 24. Квадраты удобно брать из таблицы квадратов.

Прежде чем считать, проверьте, не пифагорова ли это тройка: 26 и 10 — это 13 и 5, умноженные на 2, значит, третья сторона — 12 · 2 = 24.

Что такое обратная теорема Пифагора?

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный, а прямой угол лежит против большей стороны. Так проверяют, прямоугольный ли треугольник: стороны 7, 24 и 25 дают 49 + 576 = 625 — да. Если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других, угол против неё тупой, если меньше — треугольник остроугольный.

Как доказать теорему Пифагора?

Самое наглядное доказательство — через площади. Возьмём квадрат со стороной a + b и расположим внутри четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b так, чтобы их гипотенузы образовали квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата равна (a + b)^{^2} и одновременно c^{^2} + 4 · ab/2. Приравняем: a^{^2} + 2ab + b^{^2} = c^{^2} + 2ab, откуда c^{^2} = a^{^2} + b^{^2}.

Проверь себя

Теорема Пифагора: найти сторону: 5 вопросов, от простых к трудным. От прямого счёта к задачам, где прямоугольный треугольник ещё надо увидеть.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 12 ЕГЭ по базовой математике. Пригодятся строки «Катет» и тройки 7–24–25, 8–15–17 и 10–24–26 из второй таблицы; угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Задание 1 из 3

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25, а один из катетов равен 7. Найдите площадь треугольника.

Показать ответ
Задание 2 из 3

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17, а один из катетов равен 8. Найдите площадь треугольника.

Показать ответ
Задание 3 из 3

Точки A, B и C лежат на окружности. Отрезок AB — диаметр окружности, AB = 26, AC = 10. Найдите длину хорды BC.

Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Теорема Пифагора нужна почти в каждой задаче по планиметрии: в задании 12 базового уровня — найти сторону, площадь или хорду, в задании 1 профильного — сторону ромба или высоту трапеции. В стереометрии ею ищут диагонали и высоты.

Теория по теме:

Фигуры на плоскости

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Для каких треугольников работает теорема Пифагора?

Только для прямоугольных. Если угол не прямой, пользуйтесь теоремой косинусов: c^{^2} = a^{^2} + b^{^2} − 2ab cos C.

Что такое пифагоровы тройки?

Три натуральных числа a, b, c, для которых a^{^2} + b^{^2} = c^{^2}: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25, 20–21–29 и другие. Они дают прямоугольные треугольники с целыми сторонами, и задачи ЕГЭ часто на них построены.

В каком классе проходят теорему Пифагора?

В 8 классе, в курсе геометрии, вместе с понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Как найти диагональ квадрата по теореме Пифагора?

Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника с катетами a: d^{^2} = a^{^2} + a^{^2} = 2a^{^2}, значит, d = a√2. У квадрата со стороной 5 диагональ 5√2 ≈ 7,07.

Источники

Геометрия. 7–9 классы: учебник Л. С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение) — теорема Пифагора, теорема, обратная теореме Пифагора
ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике — планиметрия: треугольник, теорема Пифагора; задание 12 базового и задание 1 профильного уровня

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела