Теорема о трёх перпендикулярах: формулировка и применение
Теорема о трёх перпендикулярах: если AO — перпендикуляр к плоскости α, AB — наклонная, OB — её проекция, а прямая a лежит в α и проходит через B, то a ⊥ OB ⇔ a ⊥ AB. Слева направо — прямая теорема, справа налево — обратная.
Теорема о трёх перпендикулярах и следствия
Такого утверждения нет. Попробуйте: обратная, наклонная, проекция, расстояние, угол.
| Утверждение | Запись | Что даёт |
|---|---|---|
| Теорема о трёх перпендикулярах | a ⊥ OB ⇒ a ⊥ AB | a лежит в плоскости α и проходит через основание наклонной B |
| Обратная теорема | a ⊥ AB ⇒ a ⊥ OB | из перпендикулярности наклонной следует перпендикулярность проекции |
| Перпендикуляр и наклонная | AO < AB | перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки |
| Длина наклонной | AB^2 = AO^2 + OB^2 | треугольник AOB прямоугольный с прямым углом O |
| Равные наклонные | AB = AC ⇔ OB = OC | наклонные из одной точки равны, когда равны их проекции |
| Большая наклонная | AB > AC ⇔ OB > OC | большей наклонной соответствует большая проекция |
| Угол наклонной с плоскостью | sin ∠ABO = AO/(AB) | угол между наклонной и её проекцией |
| Расстояние от точки до прямой в плоскости | ρ(A; a) = √(AO^2 + OB^2), OB ⊥ a | перпендикуляр из A на a попадает в ту же точку B, что и из проекции O |
| Линейный угол двугранного угла | tg ∠ABO = AO/(OB) | AB ⊥ a и OB ⊥ a — значит, ∠ABO — угол между плоскостью ABa и плоскостью α |
Как пользоваться таблицей?
Теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Верна и обратная теорема: если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции. Три перпендикуляра — это перпендикуляр к плоскости AO, проекция OB ⊥ a и наклонная AB ⊥ a. В таблице — теорема, обратная к ней и следствия для расстояний и углов.
Скачать PDFА4, 1 лист, 208 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Доказательство теоремы о трёх перпендикулярах
Пусть AO ⊥ α, AB — наклонная, прямая a лежит в α, проходит через B и a ⊥ OB. Прямая AO перпендикулярна плоскости α, значит, перпендикулярна любой прямой в ней, в том числе a: AO ⊥ a.
Итак, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AOB — прямым OB и AO. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости a ⊥ (AOB), а значит, a перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе наклонной AB. Обратная теорема доказывается так же: из a ⊥ AB и a ⊥ AO следует a ⊥ (AOB) и a ⊥ OB.
Как применять теорему: пример
Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°, AC = 6, BC = 8. Отрезок SA перпендикулярен плоскости ABC, SA = 8. Найдём расстояние от точки S до прямой BC.
SC — наклонная, AC — её проекция. Так как AC ⊥ BC, по теореме о трёх перпендикулярах SC ⊥ BC. Значит, расстояние от S до прямой BC — это SC = √(SA^2 + AC^2) = √(64 + 36) = 10.
Где ошибаются чаще всего?
- Применяют теорему к прямой, которая не лежит в плоскости проекции. Прямая a обязана лежать в плоскости α.
- Путают, какой отрезок перпендикулярен плоскости: теорема начинается с перпендикуляра AO, без него нет и проекции.
- В решении задачи 15 пишут «по теореме о трёх перпендикулярах», не назвав наклонную, проекцию и прямую — за такое обоснование балл могут снять.
Проверь себя
Теорема о трёх перпендикулярах: 5 вопросов, от простых к трудным. От названий отрезков к расстоянию от точки до прямой.
Дальше — задание 15 по профильной математике. Стереометрия с доказательством — задания с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Теорема о трёх перпендикулярах — главный инструмент обоснования в задании 15 ЕГЭ по профильной математике (стереометрия с доказательством): через неё доказывают перпендикулярность, находят расстояния от точки до прямой и строят линейный угол двугранного угла.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: расстояния и углы в пространстве.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: элементы многогранников, высоты и апофемы пирамид.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как звучит теорема о трёх перпендикулярах?
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.
Почему теорема называется «о трёх перпендикулярах»?
В ней участвуют три перпендикулярности: перпендикуляр AO к плоскости, проекция OB ⊥ a и наклонная AB ⊥ a.
Как звучит обратная теорема о трёх перпендикулярах?
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно самой наклонной, перпендикулярна и её проекции.
В каком классе проходят теорему о трёх перпендикулярах?
В 10 классе, в теме о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. На ЕГЭ она нужна в задании 15.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, раздел «Прямые и плоскости в пространстве»: перпендикуляр и наклонная, теорема о трёх перпендикулярах
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам