Теорема синусов: формула, следствия и примеры

Теорема синусов: a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ) = 2R, где R — радиус описанной окружности. Сторона 5 против угла 30° даёт R = 5.

Теорема синусов: формулы и следствия

Теорема синусов, её расширенная форма с радиусом описанной окружности и формулы, которые из неё следуют
Что найтиФормулаКогда применять
Теорема синусовa/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ)α, β, γ — углы против сторон a, b, c
Расширенная теорема синусовa/(sin α) = 2Rкаждое отношение равно диаметру описанной окружности
Сторона по стороне и двум угламb = (a sin β)/(sin α)третий угол находят из суммы углов 180°
Синус угла по двум сторонамsin β = (b sin α)/aизвестны a, b и угол α против a; угол β может иметь два значения
Радиус описанной окружностиR = a/(2 sin α)нужны одна сторона и противолежащий угол
Сторона через радиусa = 2R sin αто же для хорды: хорда, видная из точки окружности под углом α
Площадь через радиусS = abc/(4R)подставили sin γ = c/(2R) в S = 1/2ab sin γ
Площадь через синусS = 1/2ab sin γдве стороны и угол между ними
Отношение сторонa : b : c = sin α : sin β : sin γпротив большей стороны лежит больший угол
RabcαβγABC
Описанная окружность радиуса R

Синусы углов 30°, 45°, 60° и других — в таблице синусов и косинусов; теорема для квадратов сторон — теорема косинусов.

Теорема синусов: формулы и следствия
Теорема синусов: формулы и следствия — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться формулами?

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, a/sin α = b/sin β = c/sin γ, и каждое отношение равно диаметру описанной окружности 2R. По ней находят сторону по стороне и двум углам, угол — по двум сторонам и углу против одной из них, а ещё радиус описанной окружности. В таблице — все формулы, во второй — сколько решений у треугольника в спорном случае.

Скачать PDFА4, 1 лист, 290 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс геометрии 9 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Сколько решений у треугольника по двум сторонам и углу

Известны стороны a и b и угол α против стороны a: сколько существует треугольников
УсловиеСколько треугольниковПочему
a ≥ bодинпротив большей стороны — больший угол, поэтому β < α и β острый
b sin α < a < bдваsin β < 1 даёт острый угол β и тупой 180° − β, оба подходят
a = b sin αодин, прямоугольныйsin β = 1, угол β = 90°
a < b sin αни одногополучается sin β > 1 — так не бывает

Таблица — для острого угла α. Если α тупой или прямой, треугольник существует только при a > b, и он единственный.

Как звучит теорема синусов?

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ). Расширенная формулировка добавляет, чему равно это общее отношение, — диаметру описанной окружности: a/(sin α) = 2R.

Удобно помнить пары «сторона — угол напротив». Теорема синусов всегда работает с такими парами: если известна одна полная пара и ещё одна сторона или угол, найдётся всё остальное.

Доказательство теоремы синусов

Опишем около треугольника ABC окружность с центром O и проведём диаметр BD = 2R. Вписанные углы BAC и BDC опираются на одну дугу BC, поэтому при остром угле A они равны: ∠BDC = α.

Треугольник BCD прямоугольный: угол BCD опирается на диаметр. Значит, BC = BD sin ∠BDC, то есть a = 2R sin α и a/(sin α) = 2R. Если угол A тупой, ∠BDC = 180° − α, а синус у смежных углов одинаковый — равенство то же. Для двух других сторон рассуждение повторяется.

Примеры решения задач по теореме синусов

Сторона по двум углам. α = 30°, β = 45°, a = 6. Тогда b = (6 sin 45°)/(sin 30°) = (6 · √2/2)/(1/2) = 6√2, угол γ = 180° − 30° − 45° = 105°.

Радиус описанной окружности. В треугольнике сторона 10 лежит против угла 150°. R = 10/(2 sin 150°) = 10/(2 · 0,5) = 10.

Два решения. a = 3, b = 3√2, α = 30°. sin β = (3√2 · 0,5)/3 = √2/2, поэтому β = 45° или β = 135°. Оба подходят: 30° + 135° < 180°. Это случай b sin α < a < b из второй таблицы.

Где ошибаются чаще всего?

  • Берут угол, прилежащий к стороне, а нужен противолежащий.
  • Путают R и 2R: a/(sin α) даёт диаметр, радиус — вдвое меньше.
  • Находят угол по синусу и забывают второй вариант 180° − β. Проверьте по второй таблице, возможны ли два треугольника.
  • Считают, что при sin β = 0,5 угол обязательно 30°. Это может быть и 150°, если сумма углов позволяет.

Проверь себя

Теорема синусов: сторона, угол, радиус: 5 вопросов, от простых к трудным. От радиуса описанной окружности к углу по двум сторонам.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Теорема синусов на ЕГЭ — в планиметрии: найти радиус описанной окружности или сторону по углам в задании 1 профиля и 12 базы, а в задании 18 профиля — как шаг решения.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Как звучит теорема синусов?

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ). Каждое из этих отношений равно диаметру описанной окружности 2R.

Как найти радиус описанной окружности по теореме синусов?

Разделите любую сторону на удвоенный синус противолежащего угла: R = a/(2 sin α). Для стороны 8 против угла 30° получается R = 8/(2 · 0,5) = 8.

Почему по теореме синусов бывает два треугольника?

По синусу угол определяется неоднозначно: sin β = sin(180° − β). Если известны две стороны и угол не между ними, подходят и острый, и тупой угол β — когда сумма углов остаётся меньше 180°.

Когда нужна теорема синусов, а когда теорема косинусов?

Синусов — если в данных есть пара «сторона и противолежащий угол» или нужен радиус описанной окружности. Косинусов — если известны две стороны и угол между ними или все три стороны.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела