Векторы: все формулы в одной таблице
Вектор задают координатами — разностью координат конца и начала: для точек A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2) вектор AB = (x_2 − x_1; y_2 − y_1). Его длина — корень из суммы квадратов координат. Скалярное произведение считают двумя способами: через координаты и через длины и угол. Все формулы собраны в таблице с поиском.
Формулы векторов на плоскости
Такой формулы нет. Попробуйте: длина, сумма, угол, коллинеарны.
| Что находим | Формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Координаты вектора по точкам | AB⃗ = (x_2 − x_1; y_2 − y_1) | из координат конца вычитают координаты начала |
| Длина (модуль) вектора | |a⃗| = √(x^2 + y^2) | для вектора a(x; y) |
| Расстояние между точками | AB = √((x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2) | длина вектора AB |
| Сумма векторов | a⃗ + b⃗ = (x_1 + x_2; y_1 + y_2) | координаты складываются |
| Разность векторов | a⃗ − b⃗ = (x_1 − x_2; y_1 − y_2) | координаты вычитаются |
| Умножение на число | k·a⃗ = (kx; ky) | при k < 0 направление меняется на противоположное |
| Скалярное произведение через координаты | a⃗ · b⃗ = x_1 x_2 + y_1 y_2 | результат — число, а не вектор |
| Скалярное произведение через угол | a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ | φ — угол между векторами |
| Угол между векторами | cos φ = (x_1 x_2 + y_1 y_2)/(|a⃗| · |b⃗|) | из двух формул скалярного произведения |
| Перпендикулярность | a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 | скалярное произведение равно нулю |
| Коллинеарность | (x_1)/(x_2) = (y_1)/(y_2) | координаты пропорциональны; если x_2 или y_2 равен 0, проверяют x_1 y_2 − x_2 y_1 = 0 |
| Середина отрезка | M((x_1 + x_2)/2; (y_1 + y_2)/2) | полусумма координат концов |
| Скалярный квадрат | a⃗ · a⃗ = |a⃗|^2 | квадрат длины вектора |
Векторы в пространстве
| Что находим | Формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Координаты вектора | AB⃗ = (x_2 − x_1; y_2 − y_1; z_2 − z_1) | добавляется координата z |
| Длина вектора | |a⃗| = √(x^2 + y^2 + z^2) | для a(x; y; z) |
| Скалярное произведение | a⃗ · b⃗ = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 | перпендикулярны, если сумма равна нулю |
| Угол между векторами | cos φ = (x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2)/(|a⃗| · |b⃗|) | так же находят угол между прямыми — по направляющим векторам, беря модуль числителя |
Пример: угол между векторами
Даны векторы a(3; 4) и b(4; −3). Скалярное произведение 3 · 4 + 4 · (−3) = 0 — значит, векторы перпендикулярны, угол между ними 90°. Длины одинаковые: √(9 + 16) = 5.
Для a(1; 1) и b(1; 0): произведение 1 · 1 + 1 · 0 = 1, длины √2 и 1, cos φ = 1/(√2) = √2/2, значит φ = 45°. Значения косинусов стандартных углов — в таблице синусов и косинусов.
Где ошибаются
- Вычитают координаты в обратном порядке: вектор AB — это «конец минус начало», B − A.
- Путают две формулы скалярного произведения и подставляют длины туда, где нужны координаты.
- Считают скалярное произведение вектором. Это число: оно может быть и отрицательным, если угол тупой.
- Снимая координаты с клетчатой сетки, забывают про направление: вектор влево и вниз имеет отрицательные координаты.
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ
Векторам на ЕГЭ по профильной математике отведено отдельное задание в первой части, а координатный метод помогает и в стереометрии.
- Задание 2 профильной математикиКоординаты, сумма и разность, длина, скалярное произведение и угол между векторами.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия: координатный метод — углы и расстояния через векторы.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как найти длину вектора по координатам?
Извлеките корень из суммы квадратов координат: для a(6; 8) длина √(36 + 64) = √100 = 10. В пространстве под корень добавляется квадрат третьей координаты.
Как найти скалярное произведение векторов?
Через координаты — сумма произведений соответствующих координат: x_1 x_2 + y_1 y_2. Через длины и угол — |a| · |b| · cos φ. Выбирают ту формулу, для которой в условии есть данные.
Когда векторы перпендикулярны?
Когда их скалярное произведение равно нулю. Например, a(2; 3) и b(3; −2): 2 · 3 + 3 · (−2) = 0, значит, векторы перпендикулярны.
Как понять, что векторы коллинеарны?
Их координаты пропорциональны: a(2; 4) и b(3; 6) коллинеарны, потому что 2/3 = 4/6. Если какая-то координата равна нулю, надёжнее проверить равенство x_1 y_2 − x_2 y_1 = 0.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике: векторы, координаты, скалярное произведение