Площадь прямоугольника: формулы и калькулятор
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину: S = a · b. Если известны сторона a и диагональ d, то b = √(d^2 − a^2); если периметр P и сторона a, то b = P/2 − a.
Формулы площади прямоугольника
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Длина и ширина | S = a · b | a и b — соседние стороны |
| Сторона и диагональ | S = a · √(d^2 − a^2) | вторую сторону находят по теореме Пифагора |
| Периметр и одна сторона | S = a · (P/2 − a) | полупериметр — сумма двух соседних сторон |
| Диагональ и угол между диагоналями | S = 1/2 · d^2 · sin φ | диагонали прямоугольника равны |
| Периметр | P = 2(a + b) | длина границы, а не площадь: измеряется в см, м |
| Диагональ | d = √(a^2 + b^2) | по теореме Пифагора; диагонали прямоугольника равны |
| Сторона по площади | b = S/a | обратная задача: площадь и одна сторона известны |
Квадрат — прямоугольник с равными сторонами, поэтому все формулы подходят и ему: при a = b площадь S = a^2.
Как найти площадь прямоугольника?
Площадь прямоугольника показывает, сколько единичных квадратов в нём помещается, поэтому она равна длине, умноженной на ширину. Если одна сторона неизвестна, её находят из того, что дано: по диагонали через теорему Пифагора или по периметру через полупериметр. Ответ записывают в квадратных единицах: см², м², сотках.
Скачать PDFА4, 1 лист, 253 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Примеры: как найти площадь прямоугольника
| Что дано | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| Длина 12 см, ширина 7 см | S = 12 · 7 | 84 см^2 |
| Сторона 8, диагональ 17 | b = √(17^2 − 8^2) = 15; S = 8 · 15 | 120 |
| Периметр 34 м, одна сторона 5 м | b = 17 − 5 = 12; S = 5 · 12 | 60 м^2 |
| Комната 5,2 м на 3,5 м | S = 5,2 · 3,5 | 18,2 м^2 |
| Участок 30 м на 20 м, на нём дом 10 м на 8 м | S = 30 · 20 − 10 · 8 = 600 − 80 | 520 м^2 |
Единицы измерения площади
| Единица | Сколько это | Где встречается |
|---|---|---|
| 1 см^2 | 100 мм^2 | тетрадь, чертёж |
| 1 дм^2 | 100 см^2 | лист бумаги, плитка |
| 1 м^2 | 100 дм^2 = 10 000 см^2 | комната, квартира |
| 1 а (сотка) | 100 м^2 — квадрат 10 м на 10 м | дачный участок |
| 1 га | 100 а = 10 000 м^2 | поле, парк |
| 1 км^2 | 100 га = 1 000 000 м^2 | площадь города, региона |
При переводе длин множитель возводят в квадрат: 1 м = 100 см, значит, 1 м^2 = 100^2 = 10 000 см^2.
Площадь и периметр прямоугольника
Площадь S = a · b — сколько места внутри, периметр P = 2(a + b) — длина границы. У прямоугольника 8 на 5 площадь 40 см^2, а периметр 26 см: единицы разные, сравнивать эти числа нельзя.
Одинаковый периметр не означает одинаковую площадь. Прямоугольники 9 на 1 и 5 на 5 оба имеют периметр 20, но площади 9 и 25. Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшая площадь у квадрата.
Как найти сторону прямоугольника по площади
Площадь делят на известную сторону: b = S/a. Если площадь 48 см^2, а длина 8 см, ширина 6 см.
Если известны площадь и периметр, стороны — корни квадратного уравнения x^2 − P/2x + S = 0. Для P = 20 и S = 21 это x^2 − 10x + 21 = 0, стороны 3 и 7.
Площадь в квадратных метрах и сотках
Чтобы площадь вышла в м^2, обе стороны переводят в метры до умножения: комната 520 см на 350 см — это 5,2 м на 3,5 м, площадь 18,2 м^2. Переводить уже готовый ответ сложнее: 182 000 см^2 делят на 10 000.
Участки меряют сотками и гектарами: 1 сотка — 100 м^2, 1 га — 10 000 м^2. Участок 40 м на 25 м занимает 1000 м^2, то есть 10 соток. Калькулятор выше показывает сотки и гектары, если выбрать метры.
Проверь себя
Площадь прямоугольника: 5 вопросов, от простых к трудным. Площадь, периметр, стороны и единицы — чтобы не путать одно с другим.
Дальше — задание 10 по базовой математике. Планиметрия: практическая задача — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 10 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится строка «Длина и ширина»: из площади всего участка вычтите площадь постройки — два произведения сторон и одна разность.
-
Задание 1 из 2
Прямоугольный двор имеет размеры 45 м на 32 м. В нём расположен прямоугольный склад размером 18 м на 14 м. Найдите площадь части двора, не занятой складом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Прямоугольный участок имеет длину 48 м и ширину 35 м. На участке построен прямоугольный дом длиной 16 м и шириной 12 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Площадь прямоугольника встречается в практических задачах базового уровня и как шаг в планиметрии профильного. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 10 базовой математикиПрактическая планиметрия: площадь участка без постройки, длина забора.
- Задание 9 базовой математикиФигура на клетчатой бумаге: обвести прямоугольником и вычесть лишнее.
- Задание 1 профильной математикиПланиметрия: стороны, диагонали и площади четырёхугольников.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Чем площадь прямоугольника отличается от периметра?
Площадь — произведение сторон a · b в квадратных единицах, периметр — сумма всех сторон 2(a + b) в обычных. У прямоугольника 8 на 5 площадь 40 см², периметр 26 см.
Можно ли найти площадь прямоугольника только по диагонали?
Нет. Прямоугольников с одной и той же диагональю бесконечно много, и площади у них разные. Нужна ещё сторона или угол между диагоналями: тогда S = a·√(d² − a²) или S = ½·d²·sin φ.
Как перевести площадь из квадратных сантиметров в квадратные метры?
Разделить на 10 000: в одном квадратном метре 100 · 100 квадратных сантиметров. Например, 25 000 см² = 2,5 м².
Квадрат — это прямоугольник?
Да, квадрат — прямоугольник с равными сторонами. Поэтому S = a · b для него превращается в S = a².
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: площади плоских фигур, практические расчёты; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: площадь прямоугольника, теорема Пифагора
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице