Площадь квадрата: формулы и калькулятор
Площадь квадрата равна квадрату стороны: S = a^2. Через диагональ S = (d^2)/2, через периметр S = (P/4)^2.
Формулы площади квадрата
| Что известно | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Сторона | S = a^2 | a — сторона квадрата |
| Диагональ | S = (d^2)/2 | квадрат — ромб с равными диагоналями |
| Периметр | S = (P/4)^2 | сторона — четверть периметра |
| Радиус вписанной окружности | S = 4r^2 | сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: a = 2r |
| Радиус описанной окружности | S = 2R^2 | диагональ квадрата — диаметр описанной окружности: d = 2R |
| Сторона по площади | a = √S | обратная задача |
| Диагональ | d = a√2 | диагональ квадрата примерно в 1,414 раза длиннее стороны |
| Периметр | P = 4a | длина границы, в см или м — не в см^2 |
Квадрат — это и прямоугольник, и ромб: для него верны S = a · b при a = b и S = (d_1 d_2)/2 при d_1 = d_2.
Как найти площадь квадрата?
Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S = a². Отсюда и название — вторую степень числа называют квадратом. Если сторона неизвестна, её находят из того, что дано: по периметру делят на четыре, по диагонали — на √2. Для диагонали есть и готовая формула: площадь равна половине квадрата диагонали.
Скачать PDFА4, 1 лист, 264 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Площадь квадрата: примеры и готовые значения
| Что дано | Решение | Площадь |
|---|---|---|
| Сторона 5 см | S = 5^2 | 25 см^2 |
| Сторона 12 м | S = 12^2 | 144 м^2 |
| Сторона 2,5 дм | S = 2,5^2 | 6,25 дм^2 |
| Периметр 28 см | a = 28 / 4 = 7; S = 7^2 | 49 см^2 |
| Диагональ 8 | S = (8^2)/2 | 32 |
| Диагональ 6√2 | a = 6; S = 6^2 | 36 |
| Радиус описанной окружности 5 | S = 2 · 5^2 | 50 |
Площадь квадрата через диагональ
Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника с катетами a. По теореме Пифагора d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, откуда S = a^2 = (d^2)/2.
Эту же формулу даёт общая формула ромба S = (d_1 d_2)/2: у квадрата диагонали равны, и получается (d^2)/2. Например, при диагонали 10 см площадь 50 см^2, а сторона 5√2 ≈ 7,07 см.
Площадь и периметр квадрата
У квадрата все стороны равны, поэтому P = 4a и a = P/4. Площадь по периметру: S = (P/4)^2 = (P^2)/16. Квадрат с периметром 36 см имеет сторону 9 см и площадь 81 см^2.
При одном и том же периметре квадрат вмещает больше, чем любой другой прямоугольник. Забор длиной 40 м огородит квадрат 10 на 10 — это 100 м^2, а прямоугольник 15 на 5 — только 75 м^2.
Как найти сторону квадрата по площади
Извлечь квадратный корень: a = √S. Площадь 144 см^2 — сторона 12 см, площадь 2 м^2 — сторона √2 ≈ 1,41 м. Точные корни целых чисел до 10 000 удобно смотреть в таблице квадратов.
Если сторону увеличить в k раз, площадь вырастет в k^2 раз: сторона вдвое больше — площадь вчетверо.
Проверь себя
Площадь квадрата: 5 вопросов, от простых к трудным. Сторона, диагональ, периметр и обратная задача — сторона по площади.
Дальше — задание 10 по базовой математике. Планиметрия: практическая задача — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Квадрат встречается в практических задачах базового уровня и в планиметрии профильного: как отдельная фигура и как часть рисунка. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.
- Задание 10 базовой математикиПрактическая планиметрия: площади участков и помещений.
- Задание 9 базовой математикиПлощадь фигуры на клетчатой бумаге, где клетка — квадрат со стороной 1.
- Задание 1 профильной математикиПланиметрия: квадрат, вписанные и описанные окружности.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Почему площадь квадрата — это сторона в квадрате?
Квадрат со стороной a разбивается на a рядов по a единичных квадратиков, всего a · a = a². От этой формулы и пошло название второй степени числа — «квадрат».
Как найти площадь квадрата, если известна только диагональ?
Возвести диагональ в квадрат и разделить пополам: S = d²/2. При диагонали 8 см площадь 32 см².
Во сколько раз увеличится площадь, если сторону квадрата удвоить?
В четыре раза: (2a)² = 4a². При увеличении стороны в k раз площадь растёт в k² раз.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: площадь квадрата и прямоугольника, вписанная и описанная окружности
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице