Вписанный угол: теорема и свойства
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанные углы на одну дугу равны, угол, опирающийся на диаметр, прямой, а противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.
Вписанный угол: теорема и свойства
Такого свойства в этой таблице нет. Углы между хордами, касательными и секущими — во второй таблице.
| Свойство | Формула | Что значит |
|---|---|---|
| Теорема о вписанном угле | ∠ABC = 1/2∪AC | вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается |
| Вписанный и центральный угол | ∠ABC = 1/2∠AOC | если оба опираются на одну дугу AC; O — центр окружности |
| Вписанные углы на одну дугу | ∠ABC = ∠ADC | B и D лежат по одну сторону от хорды AC |
| Угол, опирающийся на диаметр | ∠ACB = 90° | AB — диаметр: угол опирается на полуокружность |
| Углы по разные стороны от хорды | ∠ABC + ∠ADC = 180° | B и D лежат по разные стороны от хорды AC |
| Вписанный четырёхугольник | ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180° | и обратно: если сумма противоположных углов 180°, около четырёхугольника можно описать окружность |
| Хорда и вписанный угол | AC = 2R sin ∠ABC | следствие теоремы синусов, R — радиус окружности |
Дугу обозначают знаком ∪ и измеряют в градусах: вся окружность — 360°, дуга равна центральному углу, который на неё опирается.
Как пользоваться таблицей?
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Он равен половине дуги, на которую опирается, и вдвое меньше центрального угла на той же дуге. В первой таблице — теорема и все следствия с поиском, во второй — углы между хордами, касательными и секущими, в третьей — готовые пары «дуга — угол».
Скачать PDFА4, 2 листа, 218 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Углы, связанные с окружностью: хорды, касательные, секущие
| Угол | Формула | Где вершина |
|---|---|---|
| Центральный угол | ∠AOB = ∪AB | в центре окружности |
| Между касательной и хордой | ∠ = 1/2∪ | в точке касания; берут дугу, лежащую внутри угла |
| Между пересекающимися хордами | ∠AEB = (∪AB + ∪CD)/2 | внутри окружности, в точке пересечения хорд AC и BD |
| Между двумя секущими | ∠ = (∪большая − ∪меньшая)/2 | вне окружности; дуги между сторонами угла |
| Между касательной и секущей | ∠ = (∪большая − ∪меньшая)/2 | вне окружности |
| Между двумя касательными | ∠ = 180° − ∪меньшая | вне окружности; ∪меньшая — дуга между точками касания |
Дуга, центральный и вписанный угол: таблица значений
| Дуга, ° | Центральный угол, ° | Вписанный угол, ° |
|---|---|---|
| 30 | 30 | 15 |
| 40 | 40 | 20 |
| 60 | 60 | 30 |
| 72 | 72 | 36 |
| 90 | 90 | 45 |
| 100 | 100 | 50 |
| 120 | 120 | 60 |
| 140 | 140 | 70 |
| 150 | 150 | 75 |
| 180 | 180 | 90 |
| 200 | — | 100 |
| 240 | — | 120 |
| 270 | — | 135 |
| 300 | — | 150 |
Центральный угол меньше 180°, поэтому для дуг больше полуокружности его не пишут; вписанный угол, опирающийся на такую дугу, тупой.
Что такое вписанный угол?
Угол называется вписанным, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Вписанный угол ABC опирается на дугу AC — ту, что лежит внутри угла, не содержащую точку B. Центральный угол AOC с вершиной в центре окружности опирается на ту же дугу и равен ей по градусной мере.
Как найти вписанный угол?
- Найдите дугу, на которую опирается угол: она лежит внутри угла, между точками пересечения сторон с окружностью.
- Разделите дугу пополам — это и есть вписанный угол. Если известен центральный угол на ту же дугу, делите пополам его.
- Не видно дуги — поищите другой вписанный угол на ту же дугу: они равны.
- Сторона угла проходит через концы диаметра — угол прямой, и треугольник можно решать по теореме Пифагора.
Почему вписанный угол равен половине дуги?
Рассмотрим случай, когда сторона BC вписанного угла ABC проходит через центр O. Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB = R), его углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA. Центральный угол AOC — внешний угол этого треугольника, поэтому он равен сумме двух его равных углов, то есть 2∠ABC. Значит, ∠ABC = ½∠AOC = ½∪AC. Остальные случаи сводятся к этому проведением диаметра через вершину B.
Проверь себя
Найдите вписанный угол: 5 вопросов, от простых к трудным. Задачи задания 1 решаются в одно действие, если сразу видно, на какую дугу опирается угол.
Дальше — задание 1 по профильной математике. Планиметрия — 35 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 1 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Вписанный четырёхугольник»: противоположные углы в сумме дают 180°.
-
Задание 1 ЕГЭ
В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Угол A равен 70°. Найдите угол C (в градусах).
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Вписанные и центральные углы — одна из частых тем задания 1 ЕГЭ профильного уровня: найти угол вписанного четырёхугольника, угол по дуге или хорде. В задании 18 они нужны для доказательства, что точки лежат на одной окружности.
- Задание 1 ЕГЭ профиля: планиметрияУгол вписанного четырёхугольника, вписанный угол по центральному.
- Задание 18 ЕГЭ профиля: планиметрия с доказательствомВписанные углы и вписанный четырёхугольник в доказательстве.
- Задание 12 ЕГЭ базы: теоремы о треугольникеХорда по диаметру: угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Чем вписанный угол отличается от центрального?
Вершина центрального угла — в центре окружности, вершина вписанного — на самой окружности. Если они опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше центрального.
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?
90°. Диаметр делит окружность на две полуокружности по 180°, а вписанный угол равен половине дуги. Поэтому треугольник, одна сторона которого — диаметр описанной окружности, прямоугольный.
Может ли вписанный угол быть тупым?
Да, если он опирается на дугу больше 180°. Например, угол, опирающийся на дугу 260°, равен 130°. Во вписанном четырёхугольнике тупой угол всегда стоит напротив острого.
Какое свойство у углов вписанного четырёхугольника?
Сумма противоположных углов равна 180°: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°. Поэтому около прямоугольника и равнобедренной трапеции окружность описать можно, а около ромба с острым углом — нельзя.
Источники
- Геометрия. 7–9 классы: учебник Л. С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение) — центральные и вписанные углы, теорема о вписанном угле, вписанный четырёхугольник
- ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике — окружность, центральный и вписанный угол; задания 1 и 18 профильного уровня