Тригонометрические уравнения: формулы корней и готовые ответы
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x = a ⇒ x = (−1)^n arcsin a + πn; cos x = a ⇒ x = ±arccos a + 2πn; tg x = a ⇒ x = arctg a + πn, n ∈ ℤ. При |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a корней не имеют.
Формулы корней тригонометрических уравнений
Такого уравнения нет. Попробуйте: sin, cos, tg, ctg, 0, 1, −1.
| Уравнение | Корни | Условие |
|---|---|---|
| sin x = a | x = (−1)^n arcsin a + πn | |a| ≤ 1; то же: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn |
| sin x = 0 | x = πn | частный случай |
| sin x = 1 | x = π/2 + 2πn | частный случай |
| sin x = −1 | x = −π/2 + 2πn | частный случай |
| cos x = a | x = ±arccos a + 2πn | |a| ≤ 1 |
| cos x = 0 | x = π/2 + πn | частный случай |
| cos x = 1 | x = 2πn | частный случай |
| cos x = −1 | x = π + 2πn | частный случай |
| tg x = a | x = arctg a + πn | любое a |
| tg x = 0 | x = πn | частный случай |
| ctg x = a | x = arcctg a + πn | любое a |
| ctg x = 0 | x = π/2 + πn | частный случай |
| sin x = a или cos x = a, |a| > 1 | корней нет | синус и косинус лежат от −1 до 1 |
Везде n — любое целое число, n ∈ ℤ. Значения arcsin, arccos и arctg — на странице обратные тригонометрические функции.
Как пользоваться таблицами?
Любое тригонометрическое уравнение сводится к простейшим: sin x = a, cos x = a, tg x = a. Их корни: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, x = ±arccos a + 2πn, x = arctg a + πn, где n — целое; для синуса и косинуса нужно |a| ≤ 1. Ниже — частные случаи, готовые ответы и приёмы.
Скачать PDFА4, 2 листа, 249 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Готовые ответы для табличных значений
Такого уравнения в таблице нет. Решите по общей формуле выше.
| Уравнение | Корни одной формулой | Две серии |
|---|---|---|
| sin x = 1/2 | x = (−1)^n π/6 + πn | π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn |
| sin x = −1/2 | x = (−1)^(n + 1) π/6 + πn | −π/6 + 2πn; −5π/6 + 2πn |
| sin x = √2/2 | x = (−1)^n π/4 + πn | π/4 + 2πn; 3π/4 + 2πn |
| sin x = √3/2 | x = (−1)^n π/3 + πn | π/3 + 2πn; 2π/3 + 2πn |
| cos x = 1/2 | x = ±π/3 + 2πn | π/3 + 2πn; −π/3 + 2πn |
| cos x = −1/2 | x = ±2π/3 + 2πn | 2π/3 + 2πn; −2π/3 + 2πn |
| cos x = √2/2 | x = ±π/4 + 2πn | π/4 + 2πn; −π/4 + 2πn |
| cos x = −√2/2 | x = ±3π/4 + 2πn | 3π/4 + 2πn; −3π/4 + 2πn |
| cos x = √3/2 | x = ±π/6 + 2πn | π/6 + 2πn; −π/6 + 2πn |
| tg x = 1 | x = π/4 + πn | — |
| tg x = −1 | x = −π/4 + πn | — |
| tg x = √3 | x = π/3 + πn | — |
| tg x = √3/3 | x = π/6 + πn | — |
Запись двумя сериями удобнее для отбора корней на отрезке: каждую серию перебирают по n отдельно.
Типы тригонометрических уравнений и как их решать
| Тип | Пример | Что делать |
|---|---|---|
| квадратное относительно функции | 2sin^2 x − sin x − 1 = 0 | замена t = sin x, |t| ≤ 1: t = 1 или t = −1/2 |
| сводится к одной функции | 2cos^2 x + sin x − 1 = 0 | cos^2 x = 1 − sin^2 x, дальше как квадратное |
| однородное первой степени | sin x − √3 cos x = 0 | разделить на cos x ≠ 0: tg x = √3 |
| однородное второй степени | sin^2 x − 3 sin x cos x + 2cos^2 x = 0 | разделить на cos^2 x: tg^2 x − 3 tg x + 2 = 0 |
| разложение на множители | sin 2x = cos x | 2 sin x cos x − cos x = 0, cos x(2 sin x − 1) = 0 |
| с двойным углом | cos 2x + sin x = 0 | cos 2x = 1 − 2sin^2 x — квадратное относительно sin x |
| с вспомогательным углом | sin x + cos x = 1 | √2 sin(x + π/4) = 1 |
Делить обе части на функцию можно, только если она не равна нулю при корнях уравнения. В однородном уравнении cos x = 0 не даёт корней — проверьте подстановкой. Формулы двойного угла и понижения степени — в тригонометрических формулах.
Как отобрать корни на отрезке?
Решим 2sin^2 x − sin x − 1 = 0 и найдём корни на отрезке [π; 5π/2]. Замена t = sin x даёт 2t^2 − t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/2. Серии: x = π/2 + 2πn, x = −π/6 + 2πn, x = −5π/6 + 2πn.
Перебираем n в каждой серии. Из первой на отрезок попадает π/2 + 2π = 5π/2 (правый конец). Из второй — −π/6 + 2π = 11π/6. Из третьей — −5π/6 + 2π = 7π/6. Ответ: 7π/6, 11π/6, 5π/2. Отбор удобно проверять по тригонометрическому кругу.
Где ошибаются чаще всего?
- Пишут у тангенса период 2πn. Тангенс и котангенс повторяются через π.
- Теряют вторую серию у синуса: sin x = 1/2 — это не только π/6, но и 5π/6.
- Делят на sin x или cos x и теряют корни, где они равны нулю.
- Оставляют после замены t = sin x корень t = 2 — такое уравнение корней не имеет.
Проверь себя
Тригонометрические уравнения: корни: 5 вопросов, от простых к трудным. От частных случаев к табличным значениям и отбору корней.
Дальше — задание 14 по профильной математике. Уравнение с отбором корней — задания с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Тригонометрические уравнения на ЕГЭ 2027 по профильной математике — в задании 7 (простейшее уравнение) и в задании 14 (уравнение с развёрнутым решением и отбором корней на отрезке). На базе — простейшее уравнение в задании 17.
- Задание 14 профильной математикиУравнение: решить и отобрать корни на отрезке, с обоснованием.
- Задание 7 профильной математикиПростейшее уравнение, в том числе тригонометрическое.
- Задание 17 базовой математикиРешение уравнений: sin(πx/6) = 1/2 и подобные.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как решать тригонометрические уравнения?
Свести к простейшему sin x = a, cos x = a или tg x = a — заменой, формулами двойного угла, разложением на множители — и записать корни по формулам из первой таблицы.
Что значит n ∈ ℤ в ответе?
n — любое целое число: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Каждое значение n даёт свой корень, поэтому корней бесконечно много.
Почему у косинуса ±, а у синуса (−1)^{n}?
Косинус чётный: cos(−x) = cos x, поэтому корни симметричны относительно нуля. Синус равен одному и тому же значению в точках x и π − x, и множитель (−1)^n чередует эти две серии в одной формуле.
Можно ли записывать ответ двумя сериями?
Да, это равносильная запись: sin x = 1/2 ⇔ x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn. Для отбора корней на отрезке она даже удобнее.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, разделы «Простейшие тригонометрические уравнения» и «Тригонометрические уравнения»
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка ответов — каждая серия корней из таблиц подставлена программой в своё уравнение при n от −3 до 3