Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
arcsin a ∈ [−π/2; π/2] и arccos a ∈ [0; π] определены при |a| ≤ 1, arctg a ∈ (−π/2; π/2) — при любом a. Например, arcsin 1/2 = π/6, arctg 1 = π/4.
Обратные тригонометрические функции: графики и свойства
Такой функции нет. Попробуйте: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
| Функция | Определение | D(y), E(y) и свойства |
|---|---|---|
| Арксинус | y = arcsin x ⇔ sin y = x, y ∈ [−π/2; π/2] | D(y) = [−1; 1], E(y) = [−π/2; π/2]; возрастает; нечётная: arcsin(−x) = −arcsin x |
| Арккосинус | y = arccos x ⇔ cos y = x, y ∈ [0; π] | D(y) = [−1; 1], E(y) = [0; π]; убывает; arccos(−x) = π − arccos x |
| Арктангенс | y = arctg x ⇔ tg y = x, y ∈ (−π/2; π/2) | D(y) = ℝ, E(y) = (−π/2; π/2); возрастает; нечётная; асимптоты y = ±π/2 |
| Арккотангенс | y = arcctg x ⇔ ctg y = x, y ∈ (0; π) | D(y) = ℝ, E(y) = (0; π); убывает; arcctg(−x) = π − arcctg x; асимптоты y = 0 и y = π |
| Сумма арксинуса и арккосинуса | arcsin x + arccos x = π/2 | при −1 ≤ x ≤ 1 |
| Сумма арктангенса и арккотангенса | arctg x + arcctg x = π/2 | при любом x |
| Синус арксинуса | sin(arcsin x) = x | при −1 ≤ x ≤ 1; так же cos(arccos x) = x, tg(arctg x) = x |
| Косинус арксинуса | cos(arcsin x) = √(1 − x^2) | корень берут со знаком плюс: arcsin x лежит в I или IV четверти |
| Арксинус синуса | arcsin(sin x) = x | только при x ∈ [−π/2; π/2]: arcsin(sin π) = 0, а не π |
Графики обратных функций симметричны графикам y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x (на выбранных промежутках) относительно прямой y = x. Графики самих тригонометрических функций — на странице графики функций.
Как пользоваться графиками и таблицами?
Обратные тригонометрические функции возвращают угол по значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса: arcsin a — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Их четыре: arcsin и arccos определены при |a| ≤ 1, arctg и arcctg — при любом a. На рисунках — графики всех четырёх, в таблице — область определения, множество значений и свойства, ниже — значения для табличных углов.
Скачать PDFА4, 2 листа, 314 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Таблица значений обратных тригонометрических функций
Такого значения в таблице нет.
| a | arcsin a | arccos a | arctg a |
|---|---|---|---|
| −1 | −π/2 | π | −π/4 |
| −√3/2 | −π/3 | 5π/6 | — |
| −√2/2 | −π/4 | 3π/4 | — |
| −1/2 | −π/6 | 2π/3 | — |
| 0 | 0 | π/2 | 0 |
| 1/2 | π/6 | π/3 | — |
| √2/2 | π/4 | π/4 | — |
| √3/3 | — | — | π/6 |
| √3/2 | π/3 | π/6 | — |
| 1 | π/2 | 0 | π/4 |
| √3 | — | — | π/3 |
| −√3 | — | — | −π/3 |
| −√3/3 | — | — | −π/6 |
Прочерк — значение не табличное или не существует: arcsin и arccos определены только при −1 ≤ a ≤ 1. arcctg a = π/2 − arctg a: arcctg 1 = π/4, arcctg √3 = π/6.
Решения простейших тригонометрических уравнений
| Уравнение | Решение | Условие |
|---|---|---|
| sin x = a | x = (−1)^n arcsin a + πn | |a| ≤ 1, n — целое |
| cos x = a | x = ±arccos a + 2πn | |a| ≤ 1 |
| tg x = a | x = arctg a + πn | любое a |
| ctg x = a | x = arcctg a + πn | любое a |
Все частные случаи и примеры — на странице тригонометрические уравнения.
Зачем нужны обратные тригонометрические функции?
Уравнение sin x = 1/3 имеет бесконечно много решений, и ни одно не выражается «красивым» углом. Арксинус даёт имя одному из них: arcsin 1/3 — угол из [−π/2; π/2], синус которого равен 1/3. Остальные решения получаются из него по формулам третьей таблицы.
Промежутки значений выбраны так, чтобы функция была взаимно однозначной: на [−π/2; π/2] синус принимает каждое значение от −1 до 1 ровно один раз, на [0; π] — косинус.
Как вычислить арксинус и арккосинус отрицательного числа?
Арксинус и арктангенс — нечётные функции: минус выносится за знак функции, arcsin(−√3/2) = −π/3. У арккосинуса и арккотангенса минус превращается в «π минус»: arccos(−√2/2) = π − π/4 = 3π/4.
Проверяйте ответ по промежутку значений: arccos не бывает отрицательным, а арксинус не бывает больше π/2. Ответ 7π/6 для arcsin(−1/2) заведомо неверен.
Проверь себя
Обратные тригонометрические функции: значения: 5 вопросов, от простых к трудным. От табличных значений к отрицательным аргументам и свойствам.
Дальше — задание 7 по профильной математике. Простейшее уравнение — 36 заданий с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Обратные тригонометрические функции на ЕГЭ появляются в ответах тригонометрических уравнений: в задании 7 профиля — простейшее уравнение, в задании 14 — уравнение с отбором корней, где корни вида arcsin a + 2πn нужно отобрать на отрезке.
- Задание 7 профильной математикиПростейшее уравнение, в том числе тригонометрическое.
- Задание 14 профильной математикиУравнение с отбором корней: корни через arcsin и arccos.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Что такое арксинус простыми словами?
Угол от −π/2 до π/2, синус которого равен данному числу. arcsin 1/2 = π/6, потому что sin π/6 = 1/2, и π/6 лежит в нужном промежутке.
Почему arccos не бывает отрицательным?
Его значения по определению берутся из отрезка [0; π], где все числа неотрицательны. Для отрицательных аргументов arccos больше π/2: arccos(−1) = π.
Чем arctg отличается от arcctg?
arctg a — угол из (−π/2; π/2) с тангенсом a, arcctg a — угол из (0; π) с котангенсом a. Их сумма всегда равна π/2.
Существует ли arcsin 2?
Нет: синус любого угла лежит от −1 до 1, поэтому уравнение sin x = 2 решений не имеет, а arcsin 2 не определён.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, разделы «Арксинус, арккосинус, арктангенс числа» и «Простейшие тригонометрические уравнения»
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка значений — таблица значений сверена программой с функциями asin, acos и atan; графики построены по точкам самих функций