Арифметическая прогрессия: все формулы и примеры

Q: Что такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Пример: 5, 8, 11, 14 — d = 3.

Q: Как найти разность арифметической прогрессии?

Вычесть из любого члена предыдущий: d = a_2 − a_1. Если известны два несоседних члена, d = (a_m − a_k)/(m − k).

Q: Как найти n-й член арифметической прогрессии?

По формуле a_n = a_1 + (n − 1)d. У прогрессии с a_1 = 4 и d = −3 двадцатый член равен 4 − 57 = −53.

Q: Как найти сумму арифметической прогрессии?

S_n = ((a_1 + a_n) · n)/2: полусумма первого и последнего членов, умноженная на их количество. Сумма чётных чисел от 2 до 100 — ((2 + 100) · 50)/2 = 2550.

Арифметическая прогрессия: a_{_n} = a_{_1} + (n − 1)d, сумма S_{_n} = ((a_{_1} + a_{_n}) · n)/2. У прогрессии 3, 7, 11, … десятый член равен 3 + 9 · 4 = 39.

Формулы арифметической прогрессии

Определение, разность, формула n-го члена, номер члена, характеристическое свойство и сумма арифметической прогрессии
Что найти	Формула	Пояснение и пример
Определение	a_{_(n + 1)} = a_{_n} + d	d — разность прогрессии: 3, 7, 11, 15 — d = 4
Разность	d = a_{_(n + 1)} − a_{_n}	d > 0 — возрастает, d < 0 — убывает, d = 0 — постоянна
n-й член	a_{_n} = a_{_1} + (n − 1)d	a_{_20} прогрессии 3, 7, 11, … равен 3 + 19 · 4 = 79
Член через любой другой	a_{_n} = a_{_k} + (n − k)d	a_{_10} = a_{_6} + 4d
Разность через два члена	d = (a_{_m} − a_{_k})/(m − k)	a_{_4} = 10, a_{_9} = 35: d = 25/5 = 5
Номер члена	n = (a_{_n} − a_{_1})/d + 1	если получилось не натуральное число — такого члена в прогрессии нет
Характеристическое свойство	a_{_n} = (a_{_(n − 1)} + a_{_(n + 1)})/2	каждый член — среднее арифметическое соседей
Равноудалённые члены	a_{_k} + a_{_m} = a_{_p} + a_{_s}, k + m = p + s	a_{_1} + a_{_n} = a_{_2} + a_{_(n − 1)} = …
Сумма первых n членов	S_{_n} = ((a_{_1} + a_{_n}) · n)/2	известны первый и последний члены
Сумма через разность	S_{_n} = (2a_{_1} + (n − 1)d)/2 · n	известны a_{_1} и d
Член через суммы	a_{_n} = S_{_n} − S_{_(n − 1)}	n ≥ 2; a_{_1} = S_{_1}
Сумма натуральных чисел	1 + 2 + … + n = (n(n + 1))/2	1 + 2 + … + 50 = 1275
Сумма нечётных чисел	1 + 3 + … + (2n − 1) = n^{^2}	сумма первых 7 нечётных — 49

Формулы геометрической прогрессии — на странице геометрическая прогрессия, обе прогрессии рядом и калькулятор — в формулах прогрессий.

Сможешь без таблицы? 3 вопроса

Арифметическая прогрессия: член, разность, сумма: от простых к трудным. От формулы n-го члена к сумме и номеру члена.

Контрольная по этой теме скоро?

10 заданий и шпаргалка: Миша соберёт прогон по теме и карточки на утро.

Это есть в ОГЭ: задание 14 по математике

Готовиться к контрольной

В 10–11 классе? Это задание 11 ЕГЭ

Арифметическая прогрессия: формулы арифметической прогрессии — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться формулами?

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член равен предыдущему плюс одно и то же число d: 3, 7, 11, 15… (d = 4). Её n-й член aₙ = a₁ + (n − 1)d, сумма первых n членов Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2. Ниже — все формулы, решённые примеры и текстовые задачи.

Скачать PDFА4, 2 листа, 258 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницуПолучить в TelegramПришлю эту таблицу в PDF — и, если захочешь, напомню повторить через 3 дня

Обновлено 18 октября 2026 · Математика · школьный курс алгебры 9 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Примеры: арифметическая прогрессия

Решённые задачи на арифметическую прогрессию: член, разность, номер, сумма
Условие	Решение	Ответ
a_{_1} = −6, d = 2,5. Найти a_{_11}.	a_{_11} = −6 + 10 · 2,5	19
a_{_1} = −6, d = 2,5. Найти S_{_11}.	S_{_11} = ((−6 + 19) · 11)/2	71,5
a_{_3} = 8, a_{_7} = 20. Найти a_{_1}.	d = 12/4 = 3, a_{_1} = 8 − 2 · 3	2
Прогрессия 7, 11, 15, … Есть ли в ней 101?	n = (101 − 7)/4 + 1 = 24,5	нет
Сумма чисел от 1 до 50	S = (50 · 51)/2	1275
Сколько членов прогрессии 1, 4, 7, … нужно сложить, чтобы получить 70?	(2 + 3(n − 1))/2 · n = 70, 3n^{^2} − n − 140 = 0	n = 7

Арифметическая прогрессия в текстовых задачах

Как узнать арифметическую прогрессию в условии и что искать
Сюжет	Прогрессия	Что спрашивают
каждый день пробегает на 500 м больше	a_{_1} — первый день, d = 0,5 км	расстояние в n-й день или за n дней
в каждом следующем ряду на 2 места больше	a_{_1} — первый ряд, d = 2	мест в последнем ряду или всего в зале
свободное падение: за каждую секунду путь больше на g	пути за секунды: 5, 15, 25, … м при g = 10	путь за n-ю секунду
рабочий каждый день делает на k деталей больше	d = k	за сколько дней выполнит заказ — сумма S_{_n}

Признак арифметической прогрессии в условии — слова «на столько-то больше (меньше), чем в предыдущий». Если сказано «в столько-то раз» или «на столько-то процентов», прогрессия геометрическая.

Закрепи в тренажёре

Где это на ЕГЭ: задание 11 по профильной математике. Текстовая задача — 42 задания с проверкой, без регистрации.

Решать задание 11 на neuromisha.ru

Где это на ЕГЭ: задание 11 по профильной математике — тренажёр на neuromisha.ru

Наведи камеру телефона

Откуда формула суммы арифметической прогрессии?

Запишем сумму дважды — в прямом и обратном порядке: S = a_{_1} + a_{_2} + … + a_{_n} и S = a_{_n} + a_{_(n − 1)} + … + a_{_1}. Сложим столбиком: каждая пара даёт одно и то же число a_{_1} + a_{_n}, пар — n. Значит, 2S = (a_{_1} + a_{_n}) · n.

Так, по известной истории, юный Гаусс сложил числа от 1 до 100: 50 пар по 101 — 5050.

Пример текстовой задачи

В первом ряду зала 20 мест, в каждом следующем — на 2 больше. Сколько мест в 15-м ряду и во всех 15 рядах? Это прогрессия с a_{_1} = 20, d = 2: a_{_15} = 20 + 14 · 2 = 48, S_{_15} = ((20 + 48) · 15)/2 = 510.

Где ошибаются чаще всего?

Пишут a_{_n} = a_{_1} + nd — лишняя разность. До n-го члена от первого n − 1 шагов.
Путают номер члена и его значение: a_{_5} = 20 значит «пятый член равен 20».
Считают разность убывающей прогрессии положительной: у 17, 13, 9 разность −4.
Решают сумму по формуле геометрической прогрессии, когда в условии «на», а не «в».

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Арифметическая прогрессия на ЕГЭ 2027 встречается в текстовой задаче — задание 11 профильной математики, на базе — в заданиях 19–21 на числа, перебор и практические расчёты, а в задании 20 профиля — в задачах о числах.

Теория по теме:

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Что такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Пример: 5, 8, 11, 14 — d = 3.

Как найти разность арифметической прогрессии?

Вычесть из любого члена предыдущий: d = a_{_2} − a_{_1}. Если известны два несоседних члена, d = (a_{_m} − a_{_k})/(m − k).

Как найти n-й член арифметической прогрессии?

По формуле a_{_n} = a_{_1} + (n − 1)d. У прогрессии с a_{_1} = 4 и d = −3 двадцатый член равен 4 − 57 = −53.

Как найти сумму арифметической прогрессии?

S_{_n} = ((a_{_1} + a_{_n}) · n)/2: полусумма первого и последнего членов, умноженная на их количество. Сумма чётных чисел от 2 до 100 — ((2 + 100) · 50)/2 = 2550.

Источники

ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, раздел «Последовательности»: арифметическая прогрессия, формула общего члена и суммы
ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
Проверка примеров — члены и суммы из таблиц и тренажёра пересчитаны программой прямым сложением

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела