Геометрическая прогрессия: все формулы и примеры

Геометрическая прогрессия: b_n = b_1 · q^(n − 1), сумма S_n = (b_1(q^n − 1))/(q − 1) при q ≠ 1, а при |q| < 1 сумма всех членов (b_1)/(1 − q).

Формулы геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия: определение, знаменатель, формула n-го члена, характеристическое свойство, сумма первых n членов и сумма бесконечно убывающей прогрессии
Что найтиФормулаПояснение и пример
Определениеb_(n + 1) = b_n · qb_1 ≠ 0, q ≠ 0: 3, 6, 12, 24 — q = 2
Знаменательq = (b_(n + 1))/(b_n)q < 0 — знаки членов чередуются
n-й членb_n = b_1 · q^(n − 1)b_6 прогрессии 2, 6, 18, … равен 2 · 3^5 = 486
Член через любой другойb_n = b_k · q^(n − k)b_8 = b_5 · q^3
Характеристическое свойствоb_n^2 = b_(n − 1) · b_(n + 1)при положительных членах — среднее геометрическое соседей
Равноудалённые членыb_k · b_m = b_p · b_s, k + m = p + sb_1 · b_n = b_2 · b_(n − 1) = …
Сумма первых n членовS_n = (b_1(q^n − 1))/(q − 1)q ≠ 1; 1 + 2 + 4 + … + 2^9 = 2^10 − 1 = 1023
Сумма через последний членS_n = (b_n q − b_1)/(q − 1)q ≠ 1
Сумма при q = 1S_n = n · b_1все члены одинаковые
Бесконечно убывающаяS = (b_1)/(1 − q)|q| < 1; 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2
Сложные процентыS_n = S_0(1 + p/100)^nвклад, рост цены, размножение — прогрессия с q = 1 + p/100

Формулы арифметической прогрессии — на странице арифметическая прогрессия.

Сможешь без таблицы? 3 вопроса

Геометрическая прогрессия: член, знаменатель, сумма: от простых к трудным. От знаменателя к сумме и бесконечно убывающей прогрессии.

Контрольная по этой теме скоро?

10 заданий и шпаргалка: Миша соберёт прогон по теме и карточки на утро.

Это есть в ОГЭ: задание 14 по математике

Готовиться к контрольной

В 10–11 классе? Это задание 11 ЕГЭ

Геометрическая прогрессия: формулы геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия: формулы геометрической прогрессии — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться формулами?

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0: 3, 6, 12, 24… (q = 2). Её n-й член bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, сумма первых n членов Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Ниже — все формулы, примеры и задачи на проценты.

Скачать PDFА4, 1 лист, 261 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницуПолучить в TelegramПришлю эту таблицу в PDF — и, если захочешь, напомню повторить через 3 дня

Обновлено · Математика · школьный курс алгебры 9 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Примеры: геометрическая прогрессия

Решённые задачи на геометрическую прогрессию: член, знаменатель, сумма
УсловиеРешениеОтвет
b_1 = 2, q = 3. Найти b_5.b_5 = 2 · 3^4162
b_1 = 2, q = 3. Найти S_5.S_5 = (2(3^5 − 1))/(3 − 1)242
b_3 = 20, b_5 = 80, q > 0. Найти b_1.q^2 = 4, q = 2, b_1 = 20/45
Сумма 1 + 2 + 4 + … + 512S_10 = 2^10 − 11023
Сумма бесконечной прогрессии 9, −3, 1, …q = −1/3, S = 9/(1 + 1/3)6,75
0,(3) как дробь0,3 + 0,03 + … = 0,3/(1 − 0,1)1/3

Геометрическая прогрессия в задачах

Сюжеты, где скрыта геометрическая прогрессия, и её знаменатель
СюжетЗнаменатель qПример
вклад под p % годовых с капитализацией1 + p/100100 000 под 10 %: через 2 года 121 000
цена снижается на p % каждый месяц1 − p/100за 2 снижения по 20 % цена умножится на 0,64
бактерии делятся каждые 20 минут2через 2 часа — в 2^6 = 64 раза больше
мяч отскакивает на 2/3 предыдущей высоты2/3высоты отскоков: 3, 2, 4/3, … м
период полураспада1/2через 3 периода останется 1/8

Признак геометрической прогрессии в условии — «в столько-то раз» или «на столько-то процентов от предыдущего».

Откуда формула суммы геометрической прогрессии?

Запишем S = b_1 + b_1 q + … + b_1 q^(n − 1) и умножим на q: qS = b_1 q + b_1 q^2 + … + b_1 q^n. При вычитании почти все слагаемые сокращаются: qS − S = b_1 q^n − b_1, откуда S = (b_1(q^n − 1))/(q − 1).

Если |q| < 1, то q^n с ростом n стремится к нулю, и сумма всех членов становится (b_1)/(1 − q). Поэтому 0,999… = 0,9/(1 − 0,1) = 1.

Где ошибаются чаще всего?

  • Пишут b_n = b_1 · q^n: показатель на единицу меньше номера.
  • Забывают, что q^2 = 4 даёт q = 2 и q = −2: второй вариант отбрасывают, только если в условии сказано о положительных членах.
  • Применяют формулу бесконечной суммы при |q| ≥ 1 — у такой прогрессии суммы нет.
  • Считают снижение на 20 % дважды как снижение на 40 %: на самом деле 0,8 · 0,8 = 0,64, то есть на 36 %.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 11 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Сложные проценты»: сумма вклада растёт как геометрическая прогрессия со знаменателем 1,1 — считайте 100 000 · 1,1^{n} по годам, пока значение не превысит нужное.

  1. Задание 11 ЕГЭ

    Банк начисляет на вклад 10% годовых. Вкладчик положил 100 000 рублей. Через сколько полных лет сумма вклада впервые превысит 150 000 рублей?

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Геометрическая прогрессия на ЕГЭ 2027 — в процентах и вкладах: задание 13 профильной математики (проценты, вклады и кредиты), задание 11 (текстовая задача) и задание 15 базовой математики.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Что такое геометрическая прогрессия?

Последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q. Пример: 2, 10, 50, 250 — q = 5.

Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Разделить любой член на предыдущий: q = (b_2)/(b_1). Для несоседних членов: q^(m − k) = (b_m)/(b_k).

Когда у геометрической прогрессии есть сумма всех членов?

Когда |q| < 1 — такую прогрессию называют бесконечно убывающей. Её сумма S = (b_1)/(1 − q): у 6, 3, 1,5, … сумма равна 12.

Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да, тогда знаки членов чередуются: 1, −2, 4, −8. Не может быть только нулевым: иначе все члены после первого равны нулю.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела