Формулы арифметической и геометрической прогрессии
Арифметическая: a_n = a_1 + d(n − 1), S_n = ((a_1 + a_n) · n)/2. Геометрическая: b_n = b_1 · q^(n − 1), S_n = (b_1(q^n − 1))/(q − 1) при q ≠ 1; при |q| < 1 сумма всех членов (b_1)/(1 − q).
Формулы арифметической и геометрической прогрессии
Такой строки нет. Попробуйте: определение, член, сумма, свойство, бесконечная.
| Что | Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
|---|---|---|
| Определение | a_(n+1) = a_n + d | b_(n+1) = b_n · q, где b_1 ≠ 0, q ≠ 0 |
| Разность и знаменатель | d = a_(n+1) − a_n | q = (b_(n+1))/(b_n) |
| n-й член | a_n = a_1 + d(n − 1) | b_n = b_1 · q^(n − 1) |
| Член через любой другой | a_n = a_k + d(n − k) | b_n = b_k · q^(n − k) |
| Характеристическое свойство | a_n = (a_(n−1) + a_(n+1))/2 | b_n^2 = b_(n−1) · b_(n+1) |
| Сумма первых n членов | S_n = ((a_1 + a_n) · n)/2 | S_n = (b_1(q^n − 1))/(q − 1), q ≠ 1 |
| Сумма, второй вид | S_n = (2a_1 + d(n − 1))/2 · n | S_n = n · b_1 при q = 1 |
| Равноудалённые члены | a_k + a_m = a_p + a_s, если k + m = p + s | b_k · b_m = b_p · b_s, если k + m = p + s |
| Сумма всех членов | не существует, кроме прогрессии из нулей | S = (b_1)/(1 − q) при |q| < 1 |
| Возрастает или убывает | d > 0 — возрастает, d < 0 — убывает, d = 0 — постоянна | b_1 > 0 и q > 1 — возрастает; b_1 > 0 и 0 < q < 1 — убывает; q < 0 — знаки чередуются |
Члены геометрической прогрессии обозначают b_n, арифметической — a_n; номер n — натуральное число.
Сможешь без таблицы? 3 вопроса
Формулы прогрессий: от простых к трудным. n-й член, сумма и свойства — по строкам таблицы.
Контрольная по этой теме скоро?
10 заданий и шпаргалка: Миша соберёт прогон по теме и карточки на утро.
Это есть в ОГЭ: задание 14 по математике
В 10–11 классе? Это задание 11 ЕГЭ
«Школьный» на 30 дней — 199 ₽: тетради для печати, тренажёры по темам, ОГЭ и ВПР. Оформить «Школьный»
Учителю: собрание и памятка для родителей
Презентация к родительскому собранию и памятка, как готовиться к контрольным и экзаменам.
Родителю: как помочь с подготовкой
Что спросить у ребёнка, сколько заниматься и как видеть прогресс без лишнего контроля.
Как пользоваться таблицей формул прогрессий?
В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической — умножают на одно и то же число q. Таблица ставит формулы двух прогрессий рядом, строка к строке: определение, n-й член, сумма первых n членов, характеристическое свойство. Ниже — разобранные примеры и как узнать прогрессию в текстовой задаче.
Скачать PDFА4, 1 лист, 211 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницуПолучить в TelegramПришлю эту таблицу в PDF — и, если захочешь, напомню повторить через 3 дня10 карточек из таблицы: Миша спросит их снова, когда начнут забываться. Без регистрацииТекст со ссылкой на таблицу и 3 вопроса — для чата класса
Примеры: как найти член и сумму прогрессии
| Задача | Решение | Ответ |
|---|---|---|
| Арифметическая: a_1 = 4, d = 3. Найти a_20. | a_20 = 4 + 3 · 19 | 61 |
| Арифметическая: a_1 = 4, d = 3. Найти S_20. | S_20 = ((4 + 61) · 20)/2 | 650 |
| Сумма натуральных чисел от 1 до 100 | S_100 = ((1 + 100) · 100)/2 | 5050 |
| Геометрическая: b_1 = 3, q = 2. Найти b_6. | b_6 = 3 · 2^5 | 96 |
| Геометрическая: b_1 = 3, q = 2. Найти S_6. | S_6 = (3(2^6 − 1))/(2 − 1) | 189 |
| Бесконечно убывающая: b_1 = 9, q = 1/3. Найти сумму. | S = 9/(1 − 1/3) | 13,5 |
| Арифметическая: a_3 = 7, a_8 = 22. Найти d. | 22 = 7 + 5d | d = 3 |
| Геометрическая: b_2 = 6, b_4 = 54, q > 0. Найти q. | 54 = 6 · q^2 | q = 3 |
Как узнать прогрессию в текстовой задаче?
- «Каждый день на 3 больше, чем накануне», «каждый следующий ряд короче на 2 места» — арифметическая прогрессия: одно и то же число прибавляют.
- «Каждый год вклад увеличивается на 10 %», «каждый час число бактерий удваивается» — геометрическая: одно и то же число умножают (q = 1,1, q = 2).
- Спрашивают, что будет в n-й день, — формула n-го члена. Спрашивают, сколько всего за n дней, — формула суммы.
Как решить задачу про улитку?
Улитка в первый день проползла 1 м, а каждый следующий — на 2 м больше, чем накануне. За сколько дней она проползёт 36 м? Это арифметическая прогрессия с a_1 = 1, d = 2. S_n = (2 · 1 + 2(n − 1))/2 · n = n^2. Из n^2 = 36 получаем n = 6 дней.
Откуда формула суммы арифметической прогрессии?
Запишите сумму дважды — от первого члена к последнему и в обратном порядке — и сложите столбиками. В каждой паре получится a_1 + a_n: например, a_2 + a_(n−1) = (a_1 + d) + (a_n − d). Пар n, поэтому 2S_n = (a_1 + a_n) · n.
Для геометрической прогрессии сумму умножают на q и вычитают исходную: почти все члены сокращаются, остаётся S_n(q − 1) = b_1 q^n − b_1.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Арифметическая и геометрическая прогрессии входят в кодификатор ЕГЭ по математике. Формул прогрессий нет в справочных материалах базового уровня — их нужно помнить.
- Задание 21 базовой математикиЗадачи на перебор и последовательности, в том числе на арифметическую и геометрическую прогрессии.
- Задание 11 профильной математикиТекстовая задача: «каждый день на одно и то же число больше» — сумма арифметической прогрессии.
- Задание 13 профильной математикиВклады и кредиты: начисление процентов по годам — это геометрическая прогрессия со знаменателем 1 + r/100.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d: 2, 5, 8, 11. В геометрической — умножением на одно и то же число q: 2, 6, 18, 54.
Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии?
Только если |q| < 1: S = b₁ / (1 − q). Например, 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1 / (1 − 1/2) = 2. При |q| ≥ 1 сумма всех членов не существует: она неограниченно растёт по модулю или не стремится ни к какому числу.
Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть отрицательным?
Да. Тогда знаки членов чередуются: при b₁ = 1 и q = −2 получается 1, −2, 4, −8, 16. Запрещено только q = 0 и b₁ = 0.
Есть ли формулы прогрессий в справочных материалах ЕГЭ?
Нет, ни в базовой, ни в профильной математике. Что напечатано в справке, а что нужно помнить, — на странице справочные материалы ЕГЭ.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии, формула сложных процентов
- Примеры и калькулятор — ответы в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает по формулам из таблицы