Формулы теории вероятностей: таблица

Основные формулы теории вероятностей: P(A) = m/n; P(Ā) = 1 − P(A); P(A + B) = P(A) + P(B) для несовместных; P(AB) = P(A) · P(B) для независимых; P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) в общем случае; формула Бернулли P_n(k) = C_n^k p^k q^(n − k).

Формулы теории вероятностей

Формулы теории вероятностей: классическая и геометрическая вероятность, действия с событиями, полная вероятность, Байес, Бернулли, случайные величины
Что найтиФормулаКогда применять, пример
Классическая вероятностьP(A) = m/nисходы равновозможны: выпадение 6 на кубике — 1/6
Геометрическая вероятностьP(A) = (l_A)/lточка на отрезке или в фигуре: отношение длин или площадей
Противоположное событиеP(Ā) = 1 − P(A)«не произойдёт» и «хотя бы один»
Сложение несовместных событийP(A + B) = P(A) + P(B)A и B не могут произойти вместе: выпало 1 или 2 — 2/6
Сложение в общем случаеP(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)события могут произойти одновременно
Умножение независимых событийP(AB) = P(A) · P(B)выстрелы, броски, дни: результаты не влияют друг на друга
Умножение зависимых событийP(AB) = P(A) · P(B | A)вынули шар и не вернули
Условная вероятностьP(B | A) = (P(AB))/(P(A))вероятность B при условии, что A произошло
Хотя бы один из n независимыхP = 1 − (1 − p)^nхотя бы одно попадание из 3 выстрелов при p = 0,5: 1 − 0,125 = 0,875
Полная вероятностьP(A) = P(H_1)P(A | H_1) + … + P(H_n)P(A | H_n)H_1, …, H_n — все возможные «сценарии» (гипотезы)
Формула БайесаP(H_i | A) = (P(H_i)P(A | H_i))/(P(A))вероятность сценария, если событие уже произошло
Формула БернуллиP_n(k) = C_n^k p^k q^(n − k)ровно k успехов в n независимых испытаниях, q = 1 − p
Математическое ожиданиеE(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_nсреднее значение случайной величины
ДисперсияD(X) = E(X^2) − (E(X))^2разброс значений вокруг среднего
Бернулли: ожидание и дисперсияE(X) = np, D(X) = npqчисло успехов в n испытаниях

Число исходов m и n часто считают формулами комбинаторики: сочетаниями и правилом произведения.

Формулы теории вероятностей
Формулы теории вероятностей — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться таблицей формул?

Главная формула теории вероятностей — классическая: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, n — всех равновозможных. Остальные формулы строятся из неё: сложение для несовместных событий, умножение для независимых, противоположное событие, полная вероятность, формула Байеса и схема Бернулли. Здесь все они собраны в одну таблицу с условием применения и примером; подробный разбор задач — в материале для ЕГЭ по ссылке ниже.

Скачать PDFА4, 2 листа, 228 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс «Вероятность и статистика» 7–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Какую формулу выбрать: подсказки из условия

Слова в условии задачи и формула теории вероятностей, которая к ним подходит
В условииФормулаПример
«не», «ни разу»1 − P(A)не выпадет шестёрка: 5/6
«хотя бы один», «хотя бы раз»1 − P(ни одного)хотя бы один орёл из двух бросков: 1 − 1/4
«и», «оба», «все» — события независимыумножениеоба стрелка попали: 0,8 · 0,5
«или» — события несовместнысложениевыпало 5 или 6: 2/6
«ровно k раз из n»формула Бернуллировно 2 орла из 3: 3/8
два сценария — фабрика, линия, погодаполная вероятностьбрак с одной из двух линий
«известно, что… какова вероятность, что причина…»формула Байесалампа бракованная — с какой она линии

Пример: полная вероятность и формула Байеса

Первая линия выпускает 70 % ламп и даёт 1 % брака, вторая — 30 % ламп и 4 % брака. Вероятность, что случайная лампа бракованная: P = 0,7 · 0,01 + 0,3 · 0,04 = 0,007 + 0,012 = 0,019.

Лампа оказалась бракованной. Вероятность, что её выпустила вторая линия, по формуле Байеса: 0,012/0,019 ≈ 0,63 — хотя ламп вторая линия делает меньше, брак чаще от неё.

Где ошибаются чаще всего?

  • Складывают вероятности совместных событий без вычитания P(AB): вероятность получается больше 1.
  • Перемножают вероятности зависимых событий, не учитывая, что шар не вернули.
  • Считают «хотя бы один» перебором всех случаев вместо 1 − P(ни одного).
  • В формуле Бернулли забывают множитель C_n^k — число способов расположить успехи.

Проверь себя

Формулы теории вероятностей: какую применить: 5 вопросов, от простых к трудным. От классической формулы к полной вероятности и схеме Бернулли.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 5 ЕГЭ по профильной математике. Пригодятся строки «Полная вероятность» и «Формула Бернулли»: брак — это сумма по двум линиям P(H_{i}) · P(A | H_{i}), а «дождь ровно в один из трёх дней» — C_{3}^{1} · 0,4 · 0,6^{2}.

  1. Задание 1 из 2

    На фабрике 60% ламп выпускает первая линия, остальные лампы — вторая. Первая линия производит 2% бракованных ламп, а вторая — 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа окажется бракованной.

    Показать ответ

  2. Задание 2 из 2

    Вероятность дождя в каждый из трёх дней равна 0,4. Дни независимы. Какова вероятность, что дождь пойдёт ровно в один из трёх дней? Ответ округлите до сотых.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Теория вероятностей на ЕГЭ 2027 по профильной математике — задания 4 (простейшая вероятность), 5 (сложение и умножение, полная вероятность, Бернулли) и 6 (случайные величины). На базе — задание 5.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Какая основная формула теории вероятностей?

Классическая: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных исходов. Вероятность всегда от 0 до 1.

Когда вероятности складывают, а когда умножают?

Складывают для «или», если события не могут произойти вместе. Умножают для «и», если события независимы — результат одного не влияет на другое.

Что такое формула Бернулли?

Формула вероятности ровно k успехов в n независимых одинаковых испытаниях: P_n(k) = C_n^k p^k(1 − p)^(n − k). Для двух попаданий из трёх выстрелов при p = 0,8 это 3 · 0,64 · 0,2 = 0,384.

Как решать задачи на формулу Байеса без формулы?

Через дерево вероятностей. Если результат уже известен, а спрашивают о причине, нужную ветку дерева делят на сумму всех веток, которые ведут к этому результату. Это и есть формула Байеса, записанная словами.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела