Формулы комбинаторики: таблица с примерами

Перестановки P_n = n!, размещения A_n^k = (n!)/((n − k)!) (порядок важен), сочетания C_n^k = (n!)/(k!(n − k)!) (порядок не важен). Двух дежурных из 5 человек выбирают C_5^2 = 10 способами.

Формулы комбинаторики

Формулы комбинаторики: правила суммы и произведения, перестановки, размещения и сочетания без повторений и с повторениями
Что считаемФормулаКогда и пример
Правило суммыN = m + nвыбор «или»: из 5 яблок или 3 груш — 8 способов
Правило произведенияN = m · nвыбор «и»: 3 рубашки и 4 брюк — 12 комплектов
Факториалn! = 1 · 2 · … · n0! = 1, 5! = 120
ПерестановкиP_n = n!все n элементов по порядку: 4 книги на полке — 24 способа
РазмещенияA_n^k = (n!)/((n − k)!)k из n, порядок важен: A_5^2 = 20
СочетанияC_n^k = (n!)/(k!(n − k)!)k из n, порядок не важен: C_5^2 = 10
Размещения с повторениямиĀ_n^k = n^kкоды, пароли: 4-значный PIN из 10 цифр — 10^4
Перестановки с повторениямиP = (n!)/(n_1! · n_2! · … · n_m!)слова из букв с повторами: «МАМА» — (4!)/(2! · 2!) = 6
Сочетания с повторениямиC̄_n^k = C_(n + k − 1)^k3 пирожных из 4 видов: C_6^3 = 20
Связь размещений и сочетанийA_n^k = C_n^k · k!выбрали k элементов и упорядочили их
Симметрия сочетанийC_n^k = C_n^(n − k)выбрать 8 из 10 — то же, что оставить 2
Сумма сочетанийC_n^0 + C_n^1 + … + C_n^n = 2^nчисло всех подмножеств множества из n элементов
Классическая вероятностьP(A) = m/nm и n часто считают через сочетания
Формулы комбинаторики
Формулы комбинаторики — neuromisha.ruСохранить картинку

Как выбрать формулу комбинаторики?

Основные формулы комбинаторики: перестановки Pₙ = n!, размещения Aₙᵏ = n!/(n − k)! и сочетания Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!). Выбор формулы зависит от двух вопросов: важен ли порядок и можно ли повторять элементы. В первой таблице — все формулы с условиями и примером, ниже — таблица факториалов до 12! и треугольник Паскаля с числами сочетаний.

Скачать PDFА4, 2 листа, 247 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс «Вероятность и статистика» 7–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Как выбрать формулу: порядок и повторения

Какую формулу комбинаторики взять: важен ли порядок и можно ли повторять элементы
Порядок важен?Повторы можно?ФормулаПример
да, берём все nнетP_n = n!очередь из 6 человек: 720
данетA_n^kместа 1–3 из 8 бегунов: 336
дадаn^kтрёхбуквенные слова из 5 букв: 125
нетнетC_n^kкоманда из 3 человек из 8: 56
нетдаC_(n + k − 1)^k3 шарика мороженого из 4 вкусов: 20

Таблица факториалов от 0! до 12!

Значения факториалов от 0 до 12
n!Значение
0!1
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5 040
8!40 320
9!362 880
10!3 628 800
11!39 916 800
12!479 001 600

Треугольник Паскаля: сочетания C из n по k

Числа сочетаний из n по k для n от 0 до 8: строка — n, столбец — k
n \ k012345678
n = 01
n = 111
n = 2121
n = 31331
n = 414641
n = 515101051
n = 61615201561
n = 7172135352171
n = 818285670562881

Каждое число равно сумме двух чисел над ним в предыдущей строке: C_n^k = C_(n − 1)^(k − 1) + C_(n − 1)^k.

Как понять, какую формулу использовать?

Задайте два вопроса. Первый: меняется ли ответ, если переставить выбранные элементы? Если «старосту и заместителя» поменять местами — это другой выбор, порядок важен, нужны размещения. Если «двух дежурных» поменять — выбор тот же, порядок не важен, нужны сочетания.

Второй: можно ли брать один элемент несколько раз? Цифры в пароле повторяются — это выборка с повторениями, n^k. Люди в команде не повторяются — без повторений.

Формулы комбинаторики в теории вероятностей

В задачах на вероятность комбинаторика считает исходы. Пример: в коробке 10 деталей, из них 3 бракованные, наугад берут 4. Всех способов C_10^4 = 210. Благоприятных, если ровно 2 бракованные: C_3^2 · C_7^2 = 3 · 21 = 63. Вероятность 63/210 = 0,3.

Формулу Бернулли тоже строят на сочетаниях: вероятность ровно k успехов в n испытаниях равна C_n^k p^k(1 − p)^(n − k).

Проверь себя

Формулы комбинаторики: сколько способов: 5 вопросов, от простых к трудным. От перестановок к выбору формулы по условию задачи.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 5 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Сочетания»: всего способов выбрать 4 детали из 10 — C_{10}^{4} = 210, благоприятных — C_{3}^{2} · C_{7}^{2}.

  1. Задание 5 ЕГЭ

    В коробке 10 деталей, из которых 3 бракованных. Наугад выбирают 4 детали. Какова вероятность того, что среди выбранных ровно 2 бракованных? Ответ округлите до сотых.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Комбинаторика на ЕГЭ 2027 по профильной математике нужна в заданиях 4 и 5 на вероятность — чтобы посчитать число исходов, и в задании 20 — в задачах на перебор. На базе — в задании 21 «Логика и перебор».

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Чем размещения отличаются от сочетаний?

В размещениях важен порядок выбранных элементов, в сочетаниях — нет. Поэтому размещений больше в k! раз: A_5^2 = 20, C_5^2 = 10.

Почему 0! = 1?

Так договорились, чтобы формулы работали для крайних случаев: C_n^0 = (n!)/(0! · n!) = 1 — выбрать ноль элементов можно одним способом.

Как посчитать число сочетаний без калькулятора?

Сократите факториалы: C_10^3 = (10 · 9 · 8)/(3 · 2 · 1) = 120. В числителе k множителей от n вниз, в знаменателе — k!.

Какие формулы комбинаторики нужны для ЕГЭ?

Правила суммы и произведения, перестановки n!, сочетания C_n^k и размещения. Выборки с повторениями встречаются реже, но n^k для кодов и паролей стоит помнить.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела