Площадь сектора круга: формулы и калькулятор

Площадь сектора круга радиуса r с центральным углом α: S = (πr^2 · α)/(360°). Через длину дуги l: S = 1/2lr, для угла в радианах: S = 1/2r^2 α.

Формулы площади сектора и сегмента

Формулы площади кругового сектора и сегмента: что известно, формула и обозначения
Что известноФормулаОбозначения
Радиус и угол в градусах S = (πr^2 · α)/(360°)α — центральный угол сектора
Радиус и длина дуги S = 1/2 · l · rl — длина дуги сектора
Радиус и угол в радианах S = 1/2 · r^2 · αα — в радианах: 180° = π
Сегмент: радиус и угол S = (r^2)/2 · (πα/(180°) − sin α)сектор минус треугольник под хордой
Длина дугиl = πrα/(180°)для угла в радианах l = rα
Угол по площади сектораα = (360° · S)/(πr^2)обратная задача
Перевод градусов в радианыα_рад = (π · α°)/(180°)90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4
αrl
Круговой сектор
αr
Круговой сегмент

Сектор — часть круга между двумя радиусами и дугой, сегмент — между хордой и дугой. Площадь сегмента меньше площади сектора с тем же углом на площадь треугольника с вершиной в центре.

Калькулятор площади сектора

S = (πr^2 · α)/(360°)

αrl

S = 6π ≈ 18,85 см²

  1. S = πr² · α / 360° = π · 6² · 60 / 360 = 6π ≈ 18,85
  • Длина дуги l = πrα/180°: 2π ≈ 6,28 см
Формулы площади кругового сектора и сегмента с рисунками: через радиус и угол в градусах, радианах, через длину дуги
Формулы площади кругового сектора и сегмента с рисунками: через радиус и угол в градусах, радианах, через длину дуги — neuromisha.ruСохранить картинку

Как найти площадь сектора?

Сектор — часть круга между двумя радиусами. Его площадь составляет такую же долю от площади круга, какую центральный угол составляет от 360°: сектор в 90° — четверть круга, в 60° — шестая часть. Если известна длина дуги, площадь равна половине произведения дуги на радиус. Сегмент получается, если из сектора вычесть треугольник под хордой.

Скачать PDFА4, 1 лист, 268 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика

Примеры: площадь сектора и сегмента

Разобранные задачи на площадь сектора и сегмента: условие, решение и ответ
Что даноРешениеОтвет
r = 6, α = 60°S = (π · 36 · 60)/3606π ≈ 18,85
r = 10, α = 90°S = (π · 100)/425π ≈ 78,54
r = 4, α = 135°S = (π · 16 · 135)/3606π ≈ 18,85
r = 8, длина дуги 10S = 1/2 · 10 · 840
r = 3, α = 2π/3 радS = 1/2 · 9 · 2π/33π ≈ 9,42
Сегмент: r = 6, α = 60°S = 6π − 1/2 · 36 · √3/2 = 6π − 9√3≈ 3,26

Площадь сектора как доля круга

Площадь сектора пропорциональна его центральному углу. Полный круг — 360° и площадь πr^2, поэтому сектор с углом α занимает долю α/(360°): S = πr^2 · α/(360°).

Удобные доли: 180° — половина круга, 90° — четверть, 120° — треть, 60° — шестая часть, 45° — восьмая. Сектор радиуса 6 с углом 60° — это шестая часть от 36π, то есть 6π.

Площадь сектора через длину дуги

Длина дуги тоже пропорциональна углу: l = πrα/(180°). Если подставить её в формулу площади, угол сокращается и остаётся S = 1/2lr — как площадь треугольника с основанием l и высотой r.

В радианах формулы короче: l = rα и S = 1/2r^2 α. Проверка: для полного круга α = 2π и S = 1/2r^2 · 2π = πr^2.

Площадь сегмента круга

Хорда отсекает от круга сегмент. Его площадь — площадь сектора с тем же углом минус площадь треугольника, у которого две стороны — радиусы: S = (πr^2 α)/(360°) − 1/2r^2 · sin α.

Для α = 90° и r = 6 получается 9π − 18 ≈ 10,27. Если угол больше 180°, синус отрицателен и треугольник не вычитается, а прибавляется — формула остаётся той же.

Проверь себя

Сектор и сегмент: 5 вопросов, от простых к трудным. Доля круга по углу, длина дуги, радианы и обратная задача — угол по площади.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 10 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится доля сектора frac{α}{360°}: полный круг — 360°, центральный угол одного из равных секторов — 360°, делённые на их число.

  1. Задание 1 из 2

    Круглая мишень разделена радиусами на 15 равных секторов. Найдите градусную меру угла между двумя соседними радиусами.

    Показать ответ

  2. Задание 2 из 2

    Окружность разделена радиусами на 24 равных сектора. Найдите величину центрального угла одного сектора. Ответ дайте в градусах.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Секторы появляются в практических задачах базового уровня (круг, разделённый на равные части) и на клетчатой бумаге, где площадь сектора считают через π. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Чем сектор отличается от сегмента?

Сектор ограничен двумя радиусами и дугой — похож на кусок пирога. Сегмент ограничен хордой и дугой. Площадь сегмента — площадь сектора минус треугольник из двух радиусов и хорды.

Как найти площадь сектора, если угол дан в радианах?

По формуле S = ½·r²·α. Для r = 4 и α = π/4 площадь ½·16·π/4 = 2π ≈ 6,28. Можно и перевести угол в градусы: π/4 = 45°.

Как найти центральный угол, если известна площадь сектора?

Найти, какую долю площади круга занимает сектор, и умножить её на 360°. Сектор 6π в круге радиуса 6 (площадь 36π) — это 1/6 круга, угол 60°.

Источники

  • ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: окружность и круг, центральный угол, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: длина дуги, площадь круга и кругового сектора
  • Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела