Задание 19 ЕГЭ по профильной математике: Задача с параметром

Требуется найти все значения параметра, при которых уравнение, неравенство или система имеет заданное число решений. Четыре балла даются только за полный перечень, и один пропущенный граничный случай снижает оценку. Ценится систематический разбор случаев, а не удачная догадка по картинке.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложностивысокий
Максимальный балл4 балла
Форма ответаразвёрнутое решение, перечень значений параметра
Сколько минут закладывать35 минут
Коды кодификатора
  • 2.8 Графический метод решения уравнений и неравенств
  • 2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметром

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

  1. Перепишите условие так, чтобы параметр стоял отдельно, например через семейство графиков.
  2. Выберите метод: графический в осях переменной и параметра, замена, исследование дискриминанта.
  3. Разберите все случаи расположения графиков и выпишите ограничения из каждого.
  4. Отдельно проверьте граничные значения параметра, где число решений меняется.
  5. Соберите ответ в перечень промежутков и отдельных точек.

Типичные ошибки

  • Пропускают случай, когда старший коэффициент обращается в ноль.
  • Не проверяют сами граничные значения параметра и теряют балл за неполный ответ.
  • Ведут рассуждение по картинке, не формулируя условие, которое из неё следует.
Совет на экзамене

Плоскость, где по одной оси переменная, а по другой параметр, часто превращает задачу в чтение картинки. Начинайте с неё.

Теория по заданию 19

Графический метод решения уравнений и неравенствКонспект с разбором Уравнения, неравенства и системы с параметромКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример
Найди все значения параметра a, при которых уравнение y = x + a и окружность x² + y² = 8 имеют ровно одну общую точку. Заодно скажи, что происходит при остальных a.
Рисуем ориентир. Окружность x2+y2=8x^2 + y^2 = 8 — с центром в начале координат и радиусом R=8=22R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. Прямые y=x+ay = x + a — семейство параллельных прямых с наклоном 1, которые двигаются по плоскости при изменении aa. «Ровно одна общая точка» на картинке — это касание. Число решений переключается в тот момент, когда расстояние от центра окружности до прямой становится равно радиусу. Значит, ищем это расстояние. Запишем прямую в общем виде: y=x+ay = x + a превращается в x−y+a=0x - y + a = 0. Расстояние от точки (0; 0)(0;\,0) до этой прямой: d=∣0−0+a∣12+(−1)2=∣a∣2d = \dfrac{|0 - 0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|a|}{\sqrt{2}} Условие касания d=Rd = R даёт уравнение на параметр: ∣a∣2=22  ⇒  ∣a∣=22⋅2=4\dfrac{|a|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; |a| = 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4 Отсюда a=4a = 4 или a=−4a = -4 — два положения касания, сверху и снизу окружности. Теперь разбираем остальные случаи по расстоянию. Если прямая ближе к центру, чем радиус (d<Rd < R, то есть ∣a∣<4|a| < 4), она рассекает окружность — две общие точки. Если дальше (∣a∣>4|a| > 4) — проходит мимо, общих точек нет. Ответ: Ровно одна общая точка при a = 4 и a = −4. При −4 < a < 4 — две точки, при |a| > 4 — ни одной..

Разбор из темы «Графический метод решения уравнений и неравенств» в разделе теории.

Коротко

Вопросы про задание 19

Сколько баллов даёт задание 19 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 19 можно получить максимум 4 балла из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — развёрнутое решение, перечень значений параметра.

Какой уровень сложности у задания 19 по профильной математике?

Задание 19 относится к заданиям высокого уровня сложности; таких в работе 2 из 20.

Сколько времени тратить на задание 19?

Закладывайте около 35 минут: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 19?

По кодификатору ФИПИ задание 19 опирается на разделы: Графический метод решения уравнений и неравенств; Уравнения, неравенства и системы с параметром.