Показательная функция y = aˣ: график и свойства

Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1) определена при всех x, принимает только положительные значения и проходит через (0; 1); при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.

Показательная функция: графики и свойства

Графики y = aˣ при a > 1 и 0 < a < 1 и свойства показательной функции
СвойствоФормулаПояснение
Определениеy = a^x, a > 0, a ≠ 1переменная — в показателе; при a = 1 получилась бы прямая y = 1
Область определенияD(y) = ℝx — любое число
Множество значенийE(y) = (0; +∞)значения только положительные
Точка на оси Oya^0 = 1любой график проходит через (0; 1)
Возрастаниеa > 1: x_1 < x_2 ⇒ a^(x_1) < a^(x_2)y = 2^x, y = e^x, y = 10^x
Убывание0 < a < 1: x_1 < x_2 ⇒ a^(x_1) > a^(x_2)y = (1/2)^x = 2^(−x)
Асимптотаy = 0при a > 1 — когда x → −∞, при 0 < a < 1 — когда x → +∞
Отрицательный показательa^(−x) = (1/a)^xграфики y = a^x и y = a^(−x) симметричны относительно оси Oy
Равенство степенейa^(f(x)) = a^(g(x)) ⇔ f(x) = g(x)основной приём показательных уравнений
Экспонентаy = e^x, e ≈ 2,718(e^x)′ = e^x; обратная функция — y = ln x
xyO11
y = aˣ, a > 1 — экспонента
xyO11
y = aˣ, 0 < a < 1 — убывает
xyO112ˣ(½)ˣ
y = 2ˣ и y = (1/2)ˣ

Обратная к y = a^x функция — логарифм y = log_a x: их графики симметричны относительно прямой y = x. Свойства степеней — на странице свойства степеней.

Показательная функция: графики и свойства
Показательная функция: графики и свойства — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться рисунками и таблицами?

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где основание a > 0 и a ≠ 1. Она определена при всех x, принимает только положительные значения и проходит через точку (0; 1). При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает; ось Ox — её горизонтальная асимптота. На рисунках — оба случая, в таблицах — свойства и приёмы решения показательных уравнений и неравенств.

Скачать PDFА4, 2 листа, 368 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Показательная функция при a > 1 и 0 < a < 1

Сравнение свойств показательной функции при основании больше и меньше единицы
Свойствоa > 10 < a < 1
монотонностьвозрастаетубывает
при x → +∞a^x → +∞a^x → 0
при x → −∞a^x → 0a^x → +∞
a^x > 1при x > 0при x < 0
0 < a^x < 1при x < 0при x > 0
неравенство a^f > a^gf > g — знак тот жеf < g — знак меняется

Показательные уравнения и неравенства: приёмы

Основные приёмы решения показательных уравнений и неравенств с примерами
ПриёмПримерОтвет
привести к одному основанию2^(x + 3) = 32 = 2^5x = 2
отрицательный показатель5^x = 1/125 = 5^(−3)x = −3
основание-дробь(1/3)^x = 9 = (1/3)^(−2)x = −2
вынести общий множитель2^(x + 1) + 2^x = 24: 3 · 2^x = 24x = 3
замена t = a^x4^x − 3 · 2^x − 4 = 0: t^2 − 3t − 4 = 0, t = 4x = 2 (t = −1 не подходит)
логарифмирование3^x = 7x = log_3 7
неравенство, a > 12^x > 8x > 3
неравенство, 0 < a < 10,5^x ≥ 0,25x ≤ 2

После замены t = a^x отрицательные значения t отбрасывают: показательная функция принимает только положительные значения.

Как построить график показательной функции?

Отметьте точку (0; 1), точку (1; a) и ещё две-три: для y = 2^x это (−1; 1/2), (2; 4), (3; 8). Проведите плавную кривую, которая слева прижимается к оси Ox, но не касается её, а справа быстро уходит вверх.

График y = (1/2)^x — зеркальное отражение y = 2^x относительно оси Oy. Графики со сдвигом строят преобразованиями: y = 2^x − 3 — тот же график, опущенный на 3, его асимптота — прямая y = −3.

Где ошибаются чаще всего?

  • Путают показательную и степенную функции: в y = 2^x переменная в показателе, в y = x^2 — в основании.
  • Не меняют знак неравенства при основании меньше 1: (1/3)^x > (1/3)^2 ⇔ x < 2.
  • После замены t = a^x оставляют отрицательный корень t — уравнение a^x = −1 решений не имеет.
  • Считают, что график пересекает ось Ox. Значения a^x всегда положительны.

Проверь себя

Показательная функция: свойства и уравнения: 5 вопросов, от простых к трудным. От свойств графика к уравнениям и неравенствам.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 7 ЕГЭ по профильной математике. Пригодятся строки «Равенство степеней» и «Отрицательный показатель»: frac{1}{25} = 5^{−2}, поэтому показатели степеней с основанием 5 можно приравнять.

  1. Задание 7 ЕГЭ

    Найдите корень уравнения 5^(x + 1) = 1/25.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Показательная функция на ЕГЭ 2027 по профильной математике — простейшее показательное уравнение в задании 7, уравнения с заменой в задании 14 и показательные неравенства в задании 16. На базе — неравенства в задании 18.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Что такое показательная функция?

Функция y = a^x, где a — положительное число, не равное 1, а x — переменная в показателе. Примеры: y = 2^x, y = (1/3)^x, y = e^x.

Почему основание показательной функции должно быть положительным?

При отрицательном a степень a^x не определена для многих x: (−2)^(1/2) — корень из отрицательного числа. А при a = 1 функция постоянна и не интересна.

Может ли показательная функция быть отрицательной?

Нет. y = a^x > 0 при любом x, поэтому уравнения вида a^x = −5 или a^x = 0 корней не имеют.

Чем показательная функция отличается от степенной?

Местом переменной: в показательной y = a^x она в показателе, в степенной y = x^n — в основании. Показательная при a > 1 со временем растёт быстрее любой степенной.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела