Задание 12 ЕГЭ по профильной математике: Графики функций

По графику линейной, квадратичной, дробно-линейной, показательной или логарифмической функции требуется найти её параметры или значение в точке. Работа идёт в обратную сторону: не строим по формуле, а восстанавливаем формулу по картинке, опираясь на узловые точки с целыми координатами.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложностиповышенный
Максимальный балл1 балл
Форма ответацелое число или конечная десятичная дробь
Сколько минут закладывать8 минут
Коды кодификатора
  • 2.8 Графический метод решения уравнений и неравенств
  • 3.1 Функция, область определения, множество значений
  • 3.2 График функции, взаимно обратные функции
  • 3.4 Тригонометрические функции
  • 3.5 Показательные и логарифмические функции

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

  1. Определите вид функции по форме графика и запишите её общую формулу.
  2. Снимите с рисунка две или три точки с целыми координатами.
  3. Составьте систему уравнений, подставив эти точки в общую формулу.
  4. Решите систему и подставьте найденные параметры в вопрос задания.

Типичные ошибки

  • Берут точки, лежащие рядом с узлом, но не на нём, и получают дробные параметры.
  • Путают вертикальную и горизонтальную асимптоты дробно-линейной функции.
  • Находят параметры, но забывают вычислить то значение, о котором спрашивают.
Совет на экзамене

Если параметры вышли дробными и некрасивыми, почти наверняка неверно снята точка с графика — проверьте её первой.

Теория по заданию 12

Графический метод решения уравнений и неравенствКонспект с разбором Функция, область определения, множество значенийКонспект с разбором График функции, взаимно обратные функцииКонспект с разбором Тригонометрические функцииКонспект с разбором Показательные и логарифмические функцииКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример
Найди все значения параметра a, при которых уравнение y = x + a и окружность x² + y² = 8 имеют ровно одну общую точку. Заодно скажи, что происходит при остальных a.
Рисуем ориентир. Окружность x2+y2=8x^2 + y^2 = 8 — с центром в начале координат и радиусом R=8=22R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. Прямые y=x+ay = x + a — семейство параллельных прямых с наклоном 1, которые двигаются по плоскости при изменении aa. «Ровно одна общая точка» на картинке — это касание. Число решений переключается в тот момент, когда расстояние от центра окружности до прямой становится равно радиусу. Значит, ищем это расстояние. Запишем прямую в общем виде: y=x+ay = x + a превращается в x−y+a=0x - y + a = 0. Расстояние от точки (0; 0)(0;\,0) до этой прямой: d=∣0−0+a∣12+(−1)2=∣a∣2d = \dfrac{|0 - 0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|a|}{\sqrt{2}} Условие касания d=Rd = R даёт уравнение на параметр: ∣a∣2=22  ⇒  ∣a∣=22⋅2=4\dfrac{|a|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; |a| = 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4 Отсюда a=4a = 4 или a=−4a = -4 — два положения касания, сверху и снизу окружности. Теперь разбираем остальные случаи по расстоянию. Если прямая ближе к центру, чем радиус (d<Rd < R, то есть ∣a∣<4|a| < 4), она рассекает окружность — две общие точки. Если дальше (∣a∣>4|a| > 4) — проходит мимо, общих точек нет. Ответ: Ровно одна общая точка при a = 4 и a = −4. При −4 < a < 4 — две точки, при |a| > 4 — ни одной..

Разбор из темы «Графический метод решения уравнений и неравенств» в разделе теории.

Коротко

Вопросы про задание 12

Сколько баллов даёт задание 12 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 12 можно получить максимум 1 балл из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — целое число или конечная десятичная дробь.

Какой уровень сложности у задания 12 по профильной математике?

Задание 12 относится к заданиям повышенного уровня сложности; таких в работе 11 из 20.

Сколько времени тратить на задание 12?

Закладывайте около 8 минут: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 12?

По кодификатору ФИПИ задание 12 опирается на разделы: Графический метод решения уравнений и неравенств; Функция, область определения, множество значений; График функции, взаимно обратные функции и ещё 2.